convergenza, intervallo di

convergenza, intervallo di

convergenza, intervallo di per una serie di potenze nel campo reale, è l’intersezione con l’asse reale del suo cerchio di convergenza nel piano complesso.

Per esempio, la serie

converge nell’intervallo (−1, 1) alla funzione

come conseguenza del fatto che la serie

ha raggio di convergenza R = 1. Si noti che ƒ(x) è una funzione regolare, di classe C ^∞(R), e che nulla nel suo grafico pare impedire la convergenza del suo sviluppo di Maclaurin al di fuori dell’intervallo (−1, 1) (→ Maclaurin, serie di). Considerando invece la funzione

si nota che essa presenta due poli nei punti z = ±i, che si trovano sulla circonferenza di convergenza, che ha quindi raggio 1. La presenza di poli complessi si ripercuote sulla convergenza della serie anche nel campo reale.