intuizionismo

intuizionismo

intuizionismo concezione della matematica secondo cui l’affermazione di esistenza di enti matematici è lecita solo se si dispone di un metodo che ne garantisca la costruibilità. In questo senso, come filosofia della matematica, l’intuizionismo può essere considerato una forma di costruttivismo. Il termine e i concetti relativi all’intuizionismo sono dovuti principalmente a L.E.J. Brouwer, che li enunciò nel 1907 nella sua tesi di dottorato Over de Grondslagender Wiskunde (Sui fondamenti della matematica). Secondo Brouwer, la matematica è creata «da una libera azione, indipendente dall’esperienza, e si sviluppa da una sola intuizione fondamentale», quella dei numeri naturali, che si basa sulla «percezione di un passaggio di tempo, dello scindersi di un momento di vita in due cose distinte». Al linguaggio e alla logica sono attribuiti ruoli secondari: il linguaggio, secondo Brouwer, è soltanto un mezzo per la comunicazione e la logica non è che la codificazione a posteriori di una serie di schemi cui si conforma l’attività mentale del matematico.

Tale costruttivismo su basi intuitive conduce a una concezione soggettivistica della verità matematica: vero è, per il matematico, ciò che può essere da lui stabilito riflettendo sulle proprie costruzioni mentali. Ciò non significa tuttavia che, nella sua soggettività, il matematico possa creare tutto ciò che vuole, giacché rimangono vincoli di coerenza. Anzi, proprio in virtù di questa radicale critica dell’idea platonica che gli enti matematici vivano di esistenza propria in qualche “mondo delle idee”, occorre porre vincoli più severi al procedere matematico in modo che ne sia garantita la verità. Non possono perciò essere accettati in matematica i procedimenti che non siano costruttivi, quali per esempio quelli che avevano portato G. Cantor a introdurre i numeri transfiniti o a dimostrare che la cardinalità dell’insieme R dei numeri reali è superiore alla cardinalità del numerabile (→ Cantor, procedimento diagonale di). Per Brouwer, mentre continua a rimanere valido il principio di non contraddizione, non è invece possibile accettare il principio del → terzo escluso quando si opera su insiemi infiniti. Infatti, se una proposizione A non è vera, non necessariamente è vera la sua negazione «non A»; tale proposizione potrebbe infatti essere indecidibile. La impossibilità di utilizzare tale principio implicherebbe per la matematica un sacrificio enorme perché tutte le → dimostrazioni per assurdo si basano su di esso e buona parte della matematica stessa si è sviluppata attraverso risultati dimostrati per assurdo: si pensi, per esempio, che già la dimostrazione della irrazionalità di √(2) avviene per assurdo.

A differenza dei logicisti e dei formalisti, il cui fine era giustificare la pratica matematica corrente, Brouwer non esitò a proporre una vera e propria riforma della matematica, dichiarando illegittime, in base ai suoi criteri di giudizio, porzioni cospicue della matematica e della logica classiche. Le posizioni intuizionistiche destarono all’inizio un grande interesse nella comunità dei matematici, generando anche forti contrasti (in particolare, una netta opposizione da parte di D. Hilbert), e dettero anche luogo a interessanti studi soprattutto sul versante logico, per esempio da parte di A. Heyting, il maggiore degli allievi di Brouwer (→ logica intuizionista). Nella pratica della ricerca matematica, l’intuizionismo, nella sua forma più radicale, non ebbe però seguito proprio perché avrebbe determinato l’abbandono di una notevole parte della matematica stessa; tuttavia, i temi da esso sollevati contribuirono positivamente a indirizzare verso la ricerca di metodi dimostrativi costruttivi e quindi verso problemi quali quelli della decidibilità e della calcolabilità, che hanno caratterizzato la logica e la matematica del xx secolo, anche in connessione con lo sviluppo di strumenti di calcolo quali i computer. Va inoltre precisato che l’intuizionismo contemporaneo si differenzia dall’originario pensiero brouweriano per avere drasticamente smussato i tratti irrazionalistici tipici di questo, giungendo a una rivalutazione del ruolo del linguaggio, se non sul piano del puro pensiero matematico, almeno sul piano della comunicazione intersoggettiva e della descrizione dell’attività matematica. A partire infatti dall’opera di Heyting gli intuizionisti hanno preso dimestichezza con i rigorosi metodi formalisti e hanno proposto sistemi formali sempre più adeguati per la descrizione della matematica intuizionista che, fondamentalmente, resta quella creata da Brouwer. Quest’opera di formalizzazione, che probabilmente a tutt’oggi non è del tutto compiuta, ha consentito di chiarire le spesso oscure e ambigue asserzioni brouweriane, aprendo in tal modo un canale di comunicazione con il mondo logico-matematico non intuizionista attraverso il quale molti hanno potuto prendere atto della rilevanza del pensiero intuizionista e addirittura dare contributi scientifici in quella direzione, pur senza condividerne le assunzioni filosofiche (si veda anche: → formalismo, → logicismo, → fondamenti della matematica).