invariante

invariante

invariante in geometria, una proprietà di una figura di uno spazio ambiente S si dice invariante rispetto a un gruppo G di trasformazioni su S se la figura trasformata da ciascun elemento di G possiede ancora quella proprietà. Per esempio, considerato un quadrilatero del piano, la proprietà di essere quadrato è invariante rispetto al gruppo delle isometrie e delle similitudini, ma non lo è rispetto al gruppo delle affinità, mentre la proprietà di un quadrilatero di essere parallelogramma risulta invariante rispetto al gruppo delle affinità, ma non rispetto al gruppo delle proiettività. La nozione di invariante ha un ruolo importante nella classificazione di entità geometriche di uno stesso tipo, che spesso viene effettuata proprio in base alla scelta di un certo numero di invarianti. Secondo l’impostazione di F. Klein, esposta nel cosiddetto programma di → Erlangen, la G-geometria su S si occupa di tutte le proprietà delle figure di S che si conservano in una qualsiasi trasformazione di G e considera equivalenti due figure se esiste una trasformazione g ∈ G che muta l’una nell’altra. Ne consegue che il significato di equivalenza varia al variare del gruppo fondamentale che definisce la geometria. Per esempio, nella geometria euclidea metrica, due triangoli sono equivalenti (congruenti) se hanno ordinatamente congruenti lati e angoli, nella geometria simile sono equivalenti due triangoli (triangoli simili) se hanno ordinatamente gli angoli congruenti e i lati corrispondenti in rapporto costante; nella geometria affine sono equivalenti due triangoli comunque si scelgano tre punti non allineati.

In questo senso, si giustifica anche la diversa classificazione delle coniche nella geometria affine rispetto a quella nella geometria proiettiva. Nella geometria affine, una conica è classificata in base alle sue intersezioni con la retta impropria e il numero di tali intersezioni è invariante per ogni trasformazione del gruppo fondamentale delle affinità. Ciò vuol dire che le nozioni di parabola, ellisse, iperbole sono nozioni invarianti per affinità, cioè sono nozioni affini. Nella geometria proiettiva, dove non c’è distinzione tra punti propri e impropri, tutte le coniche sono equivalenti e la nozione di conica risulta invariante per proiettività. Se G è il gruppo degli omeomorfismi o trasformazioni topologiche di S, lo spazio S è uno spazio topologico e le proprietà dei sottoinsiemi di S, invariante per omeomorfismi, sono dette proprietà topologiche.

Indicati rispettivamente con I, S, A, P, O il gruppo delle isometrie, il gruppo delle similitudini, il gruppo delle affinità, il gruppo delle proiettività, il gruppo degli omeomorfismi su S, si ha: I ⊂ S ⊂ A ⊂ P ⊂ O. Ne consegue che se una proprietà è invariante rispetto a uno di tali gruppi, lo è anche per tutti i gruppi in esso inclusi e tale proprietà invariante è caratteristica di tale gruppo se non risulta invariante per tutti i gruppi in cui esso è contenuto. Per esempio, il parallelismo e la perpendicolarità tra due rette sono invarianti per similitudini, tuttavia mentre il parallelismo è invariante anche per trasformazioni affini, la perpendicolarità non lo è e risulta pertanto un invariante caratteristico della geometria simile.