invertibilita

invertibilita

invertibilità termine che assume significati differenti precisati di volta in volta.

☐ Proprietà di un elemento a di un monoide moltiplicativo A con operazione ∗: A × A → A e con elemento neutro 1, consistente nell’esistenza di un elemento x tale che a ∗ x = x ∗ a = 1. Se esiste l’elemento x che soddisfa tale proprietà, esso è unico ed è detto inverso di a.

☐ Proprietà di un’operazione binaria interna ∗: A × A → A definita su un monoide A, consistente nel fatto che ogni elemento di A ammette un elemento inverso rispetto a ∗. Se un’operazione è invertibile, è allora possibile definire in A una seconda operazione binaria interna, detta operazione inversa di ∗: essa è definita come l’operazione ∘: A × A → A che associa alla coppia ordinata (a, b) l’elemento a ∘ b = a ∗ i(b), dove i(b) è l’inverso di b rispetto a ∗. Segue che ∗ e la sua operazione inversa ∘ sono legate dall’identità (b ∘ a) ∗ a = b, dove a e b sono arbitrari elementi di A, da cui il nome di operazione inversa. Ogni elemento di A è invertibile rispetto a ∘, e l’operazione inversa di ∘ coincide con l’operazione di partenza ∗. In generale, l’operazione inversa ∘ di un’operazione associativa e commutativa ∗ non è né associativa né commutativa; se invece ∗ ammette elemento neutro allora anche ∘ ammette come elemento neutro lo stesso di ∗. Per esempio, nell’insieme Z dei numeri interi l’operazione di addizione + è invertibile e ha come inversa l’operazione di sottrazione −, mentre non è invece invertibile in Z l’operazione di moltiplicazione. Tale operazione è invece invertibile nell’insieme Q₀ dei numeri razionali diversi da 0, con inversa l’operazione ÷ di divisione.

☐ Proprietà di un’applicazione ƒ: X → Y consistente nell’esistenza di un’applicazione g: Y → X che soddisfi le due seguenti proprietà:

• g(ƒ(x)) = x per ogni x appartenente a X (invertibilità a sinistra);

• ƒ(g(y)) = y per ogni y appartenente a Y (invertibilità a destra).

Se g esiste, allora essa è unica ed è detta l’applicazione (o funzione) inversa di ƒ; si scrive allora talvolta g = ƒ⁻¹. Tale simbolo non va però confuso con l’identico simbolo che indica la → controimmagine di un elemento (e più in generale di un insieme): in tal caso, il simbolo ƒ⁻¹(x) indica un sottoinsieme di X, che solamente nel caso di un’applicazione biunivoca si riduce sempre a un unico elemento. Un’applicazione è invertibile se e solo se è biiettiva; se un’applicazione non è biiettiva ma è iniettiva, allora è comunque possibile definire un’applicazione inversa, a patto di restringere il codominio all’immagine, vale a dire di suriettivizzare l’applicazione.