involuzione

involuzione

involuzione o trasformazione involutoria o applicazione involutoria, corrispondenza univoca di un insieme in sé stesso che applicata due volte dà l’identità. In un insieme A, una biiezione è perciò una involuzione se coincide con la sua inversa. Sono esempi di applicazioni involutorie le → simmetrie e, in algebra, l’applicazione definita in un gruppo additivo che a ogni elemento fa corrispondere il suo opposto.

▢ In geometria proiettiva, il termine assume un significato specifico, pur essendo comunque una involuzione nel predetto significato generale: è una → proiettività di una forma di prima specie in sé stessa, o tra due forme di prima specie sovrapposte, il cui quadrato è l’identità, cioè tale che coincide con la sua inversa. In altri termini, una involuzione è una particolare proiettività tra una forma di prima specie (quale la retta punteggiata, il fascio di rette e il fascio di piani) e sé stessa, tale che due elementi si corrispondono in doppio modo, ossia se all’elemento A corrisponde nella proiettività l’elemento A′, nella corrispondenza inversa all’elemento A′ corrisponde l’elemento A. La coppia A, A′ è detta involutoria. Si individua una e una sola involuzione dando due coppie di elementi omologhi, senza alcun elemento in comune. L’involuzione può dunque essere considerata come un sistema di coppie di elementi di una forma tale che ogni elemento della forma appartenga a una e una sola coppia. Gli elementi di una coppia (punti, rette, piani) che si corrispondono in una involuzione si dicono coniugati. Un elemento che corrisponde a sé stesso in una trasformazione, come l’asse di simmetria in una simmetria assiale, si dice in generale elemento unito (→ trasformazione, elemento unito in una). Gli elementi uniti in una involuzione si dicono autoconiugati. In particolare una involuzione può essere:

• iperbolica, se ammette due elementi autoconiugati reali e distinti; essa risulta discorde, nel senso che ad elementi seguentisi in un dato verso corrispondono elementi seguentisi nel verso opposto;

• ellittica, se ammette due elementi autoconiugati che sono complessi coniugati; essa risulta concorde;

• parabolica o degenere, se ammette due elementi autoconiugati reali e coincidenti.

Una involuzione non identica della retta proiettiva reale (data per esempio, se la retta è dotata di un riferimento, da x′ = k/x, con k reale non nullo) o ha due punti fissi (è iperbolica) o non ne ha alcuno (è ellittica).

In un fascio di rette di centro P la corrispondenza che a ogni retta del fascio associa la sua perpendicolare per P è una corrispondenza involutoria di tipo ellittico (perché non dotata di alcuna retta propria unita) detta involuzione circolare o ortogonale. Le rette unite dell’involuzione circolare sono le → rette isotrope del fascio stesso. Si dice involuzione assoluta del piano una involuzione sulla retta impropria nella quale si fanno corrispondere i punti impropri di due rette perpendicolari. Gli elementi autoconiugati dell’involuzione assoluta sono i punti ciclici, punti impropri delle rette isotrope.