iperbolico

iperbolico

iperbòlico [agg. (pl.m. -ci) Der. di iperbole] [ALG] Cilindro i.(propr., cilindro a sezioni i.): cilindro quadrico tale che tutte le sue sezioni piane siano iperboli (v. fig). ◆ [ANM] Coseno i.: una delle funzioni i. (v. oltre). ◆ [ALG] Curva i.: lo stesso che iperbole di ordine superiore: → iperbole. ◆ Equazione i.: (a) [ALG] l'equazione algebrica di 2° grado con discriminante positivo, cioè con due radici reali distinte, così chiamata in quanto in essa si traduce la ricerca dei punti d'incontro di un'iperbole con la retta impropria del suo piano; (b) [ANM] l'equazione differenziale lineare alle derivate parziali del 2° ordine, la cui equazione caratteristica sia iperbolica: v. equazioni differenziali alle derivate parziali: II 442 a. ◆ [ANM] Funzioni i. di variabile complessa: poiché, come deriva da un'analoga proprietà delle funzioni esponenziali, lo sviluppo in serie di una funzione i. vale per un argomento sia reale sia complesso, per le funzioni i. di variabile complessa valgono sia gli sviluppi in serie dati nella tab. 2, sia le definizioni formali valide per le funzioni di variabile reale, a patto di sostituire la variabile reale x (e ix) con la variabile complessa z=x±iy. ◆ [ANM] Funzioni i. di variabile reale: funzioni con definizioni e proprietà formali analoghe a quelle delle funzioni trigonometriche, che hanno notevole importanza in varie questioni fisiche (basterà ricordare che una combinazione di esse costituisce la soluzione generale dell'equazione di Laplace). Per la definizione di esse si può ricorrere a una costruzione geometrica analoga a quella sul "cerchio unitario" di cui ci si serve per le funzioni trigonometriche, salvo che ci si serve di un'"iperbole unitaria" equilatera (I nella fig. 1), di equazione ξ2-r2=1. Precis., preso un punto C di essa, s'individuano, come indicato, i segmenti BC, OB, AD, con costruzioni identiche a quelle fatte per i corrispondenti segmenti nel cerchio trigonometrico; indicata con x l'area del settore i. tratteggiato, si ottiene, per integrazione: x=ln[BC+(BC2+1)1/2]=ln[OB+(OB2-1)1/2]= (1/2) ln[(1+AD)/(1-AD)]; chiamando, per analogia, seno i. (simb. sinh) la quantità misurata dal segmento BC, coseno i. (cosh) la misura di OB, tangente i. (tanh) la misura di AD, dalle relazioni ora scritte si ricavano le seguenti definizioni formali per le funzioni i. dirette:✄Spingendo ancora l'analogia con le funzioni trigonometriche, si possono definire le seguenti funzioni i. reciproche:✄inoltre, le seguenti funzioni i. inverse:✄che rappresentano la quantità il cui seno i., coseno i., tangente i., cotangente i., rispettiv., vale x. Tali funzioni inverse rappresentano l'area del settore i. cui corrisponde un dato seno i., coseno i., ecc.: di qui l'uso anche dei simboli settsinh x ("settore il cui seno i. è x"), settcosh x, ecc. e arsinh x ("area del settore cui corrisponde il seno i. x"), arcosh x, ecc. (qualcuno usa anche i simboli sinh-1x, cosh-1x, tanh-1x, coth-1x, ma tali notazioni potrebbero dar luogo a equivoci, prestandosi a essere interpretate come potenze con esponente -1, cioè come simboli di funzioni reciproche e non inverse). Le funzioni i. so-no legate a quelle trigonometriche dalle seguenti relazioni (i2=-1): sinx = -i sinh(ix), sinhx = - sin(ix), cosx = cosh(ix), coshx = cos(ix), tanx = -i tanh(ix), tanhx = -i tan(ix), ctgx = i ctgh(ix), cothx = i cot(ix). Mediante tali relazioni è possibile estendere alle funzioni i. note relazioni valide per le funzioni trigonometriche, alcune delle quali sono riportate nella tab. 1 (attualmente i metodi di calcolo, le formule e le tabelle del passato per calcolare il valore delle funzioni i. sono vantaggiosamente sostituiti da calcolatrici o calcolatori elettronici). Nella tab. 2 sono riportati gli sviluppi in serie delle funzioni i. dirette e inverse, che possono riuscire utili per individuare formule approssimate. Nella fig. 2 sono riportati i diagrammi delle funzioni i. dirette e reciproche; quelli delle funzioni inverse si ottengono per scambio degli assi, cioè per riflessione sulla bisettrice y=x dei diagrammi delle corrispondenti funzioni dirette. Come la funzione esponenziale, alla quale esse fanno capo, le funzioni i. sono continue e derivabili indefinitamente con derivate partic. semplici. Nella tab. 3 sono riportate derivate di alcune funzioni i., e nella tab. 4 alcuni integrali di espressioni contenenti tali funzioni. ◆ [ALG] Geometria i.: una delle due geometrie non euclidee, ideata da N.J. Lobacevskij e J.Bolyai, nella quale da un "punto" esterno a una "retta" in un "piano" si può condurre più di una parallela e nella quale la somma degli angoli di un triangolo è minore di 180°: → geometria: G. non euclidea. ◆ [ANM] Logaritmo i.: lo stesso che logaritmo naturale o neperiano. ◆ [ALG] Paraboloide i.: → paraboloide. ◆ [ALG] Proiettività i.: proiettività (in partic., involuzione), tra due forme di 1a specie sovrapposte, nella quale i due elementi uniti sono reali e distinti; per es., su una retta r la simmetria rispetto a un punto O di r è un'involuzione i. che ha come punti uniti O e il punto improprio di r. ◆ [ALG] Punto i. di una superficie: tale che il relativo piano tangente interseca la superficie secondo una linea che ha in quel punto un punto doppio nodale: v. curve e superfici: II 78 f. ◆ [ANM] Seno i.: una delle funzioni i. (v. sopra). ◆ [ELT] Sistemi i.: → radionavigazione. ◆ [ALG] Spirale i.: → spirale2. ◆ [MCC] [FSP] Velocità i.: quella che un veicolo spaziale deve avere per allontanarsi indefinitamente dalla Terra, lungo un ramo di iperbole avente uno dei fuochi nel centro della Terra: v. astronautica: I 200 e.