ipercubo

ipercubo

ipercubo generalizzazione del concetto di cubo a uno spazio di dimensione n qualsiasi. Nello spazio ordinario tridimensionale, dotato di riferimento cartesiano, un cubo di spigolo l con centro nell’origine è caratterizzato dalle disequazioni |x| ≤ l l 2, |y| ≤ l l 2; |z| ≤ l l 2. Generalizzando a uno spazio di dimensione n, un ipercubo è costituito da tutti i punti le cui coordinate (x₁, ..., x_n) sono soluzioni delle disequazioni |x_i| ≤ l l 2, con i = 1, 2, ..., n. In particolare, un ipercubo sulla retta è un segmento, nel piano è un quadrato, nello spazio ordinario è un cubo, in uno spazio con più di tre dimensioni è una figura geometrica regolare con particolari proprietà di simmetria. In quattro dimensioni è chiamato tesseratto o 4-cubo e le sue proprietà possono essere dedotte ragionando per analogia su un cubo ordinario. Osservando che:

• un ipercubo unidimensionale è un segmento AB e si ottiene congiungendo due punti;

• un ipercubo bidimensionale è un quadrato ABCD e si ottiene congiungendo due segmenti congruenti paralleli AB e CD;

• un ipercubo tridimensionale è un cubo ordinario ABCDEFGH e si ottiene congiungendo due quadrati congruenti paralleli ABCD e EFGH;

si può ottenere un ipercubo quadridimensionale congiungendo in una ipotetica quarta dimensione due ordinari cubi congruenti paralleli.

Il 4-cubo è costituito da:

• 16 facce 0-dimensionali (vertici);

• 32 facce 1-dimensionali (spigoli);

• 24 facce 2-dimensionali (quadrati);

• 8 facce 3-dimensionali (cubi).

Un tesseratto si può sviluppare in otto cubi, così come un cubo si può sviluppare in sei quadrati e un quadrato in quattro segmenti. In generale, un ipercubo n-dimensionale si ottiene congiungendo due ipercubi (n − 1)-dimensionali congruenti e paralleli ed è formato da 2ⁿ vertici e da 2n facce (n − 1)-dimensionali, cioè ipercubi di dimensione n − 1. Ogni faccia k-dimensionale è essa stessa un ipercubo.