iperspazio

iperspazio

iperspàzio [Comp. di iper- e spazio] [ALG] Spazio a più di tre dimensioni; il numero di queste s'indica generalm. con n, nel qual caso si parla anche di spazio di dimensione n. Tra i vari tipi di i. ricordiamo: (a) i. euclideo, di dimensione n, i punti del quale sono le n-uple ordinate di numeri (x₁, ..., xn) reali o complessi (rispettiv. si ha l'euclideo reale o complesso), detti coordinate del punto stesso; la sua struttura è quella che si ottiene trasportando la struttura di spazio metrico dell'ordinario spazio euclideo a tre dimensioni, e ciò viene fatto valendosi dello strumento analitico; così, si definisce come iperpiano (di dimensione n-1) dell'i. il luogo dei punti dell'i. le cui coordinate soddisfano un'equazione lineare del tipo a₁x₁ + a₂x₂ + ... + anxn = 0; si definiscono gli spazi lineari di dimensione n-2, ... fino alle rette, di dimensione 1, mediante intersezione di due o più iperpiani; si assume come distanza tra due punti P(x₁, ..., xn) e Q(y₁, ..., yn) la quantità d(P, Q) = [(x₁-y₁)2 + ... + (xn-yn)2]1/2. In modo analogo si possono poi definire gli angoli, il parallelismo, la perpendicolarità e generalizzare le altre nozioni valide nella geometria dello spazio ordinario, in modo da sviluppare una "geometria euclidea" in un i. di dimensione n; (b) i. proiettivo, di dimensione n i punti del quale sono le (n+1)-ple (x₀, x₁, ..., xn) non nulle omogenee, definite cioè a meno di un fattore di proporzionalità; gli enti e le nozioni della geometria proiettiva vengono anche in questo caso introdotti, per via analitica, sul modello della geometria proiettiva dello spazio ordinario. Così, s'introducono le nozioni di iperpiano, di ipersuperficie di ordine qualunque r (luogo dei punti che soddisfano un'equazione omogenea di grado r; in partic. le iperquadriche sono di ordine 2), di proiettività (tra due i. distinti o coincidenti), ecc. Sfruttando i metodi della geometria differenziale oppure ricorrendo a costruzioni ipotetico-deduttive che s'ispirano a proprietà e relazioni della topologia dello spazio ordinario si possono definire altri i.; in questi casi si preferisce però parlare, anziché di i., di varietà, o semplic. di spazio, qualificando opportunamente il termine.