Riemann, ipotesi di

Riemann, ipotesi di

Riemann, ipotesi di o congettura di Riemann, congettura formulata nel 1859 da B. Riemann su una particolare distribuzione degli zeri non banali della funzione zeta di → Riemann. Tale funzione ha come zeri (detti banali) tutti i numeri interi negativi pari. Riemann ipotizzò, senza tuttavia dimostrarlo, che tutti gli zeri non banali di tale funzione hanno parte reale uguale a 1/2; se quindi si considera la rappresentazione sul piano complesso (→ Argand-Gauss, piano di) del dominio della funzione, se fosse vera la congettura, tutti gli zeri si troverebbero su una stessa retta, detta retta critica. La dimostrazione (o la refutazione) di tale congettura è l’ottavo dei problemi di → Hilbert, presentati nel 1900 al Congresso internazionale dei matematici a Parigi, ed è uno dei → problemi del millennio a tutt’oggi [2013] insoluto.

In un articolo del 1859 Riemann introduce la funzione di variabile complessa t

dove

e Γ è la funzione gamma di → Eulero, dimostra che tutti gli zeri di tale funzione hanno parte immaginaria compresa tra −i /2 e i /2 e afferma che «è molto probabile che tutti i suoi zeri siano reali». Tale affermazione equivale all’ipotesi espressa qui sopra in termini di zeri della funzione ζ(s) perché gli zeri non banali di quest’ultima funzione sono i numeri complessi

dove α è uno zero di ζ(t). Dal momento che numerosi risultati sono stati dimostrati basandosi sulla validità di tale congettura, questa viene oggi abitualmente chiamata ipotesi di Riemann ed è considerata uno dei più grandi problemi aperti della matematica pura in quanto è collegata alla esistenza o meno di una legge di regolarità nella distribuzione dei numeri primi. Infatti, se si indica con π(x) la funzione enumerativa dei numeri primi, cioè la funzione che fornisce il numero dei primi minori o uguali a x, e con li (x) la funzione logaritmo integrale – entrambe introdotte da C.F. Gauss che ne ipotizzò la convergenza asintotica – la validità dell’ipotesi di Riemann equivale ad affermare che

dove O è il simbolo → O grande e indica l’ordine di grandezza. La relazione indica che, secondo tale ipotesi, si hanno dei limiti di oscillazione dei numeri primi attorno ai valori individuati da li (x). Se l’ipotesi di Riemann fosse vera, si potrebbe ricercare una legge per la distribuzione dei numeri primi all’interno dei numeri naturali. L’individuazione di tale legge potrebbe portare a violare i sistemi di sicurezza basati sul codice crittografico rsa. La crittografia odierna, infatti, utilizza sovente come chiavi numeri interi la cui fattorizzazione in numeri primi (molto grandi) non sia calcolabile in tempi accettabili. La possibilità di dimostrare o confutare l’ipotesi di Riemann è collegata a molte altre congetture della matematica dove i teoremi iniziano con «se l’ipotesi di Riemann è vera, allora ...».