irriducibilita
irriducibilita
irriducibilità in algebra, termine che esprime l’impossibilità che un elemento in una data struttura risulti non banalmente il prodotto di due altri elementi. Così, un numero intero n, diverso da 1 e da −1, è detto irriducibile se possiede solamente divisori banali, vale a dire se i suoi unici divisori sono 1, −1, n e −n. Un intero è irriducibile se e solo se esso è, a meno del segno, un numero primo. L’irriducibilità di un polinomio consiste nel fatto che esso non può essere scomposto nel prodotto di due o più polinomi di grado maggiore o uguale a uno e dipende fortemente dal campo nel quale sono considerati i coefficienti: per esempio il polinomio x 2 + 1 è irriducibile nel campo reale, mentre, se i è l’unità immaginaria, allora nel campo C dei numeri complessi esso si scompone nel prodotto (x + i)(x − i) e quindi è riducibile nel campo complesso. Se il polinomio è irriducibile in un determinato campo ed è il primo membro di un’equazione, anche l’equazione è detta irriducibile. Più in generale, in un dominio d’integrità A, un elemento non invertibile è detto irriducibile se possiede solamente divisori banali, vale a dire invertibili o a esso associati (→ elementi associati). Gli elementi irriducibili di un dominio d’integrità costituiscono i “mattoni fondamentali” delle fattorizzazioni: essi sono infatti, per definizione, gli elementi che ammettono solamente fattorizzazioni banali. In un dominio a fattorizzazione unica, come nel caso dell’anello Z dei numeri interi o dell’anello K[x] dei polinomi a coefficienti in un campo, un elemento è irriducibile se e solo se è un elemento primo.
☐ La nozione di irriducibilità per una curva algebrica (o per una superficie algebrica) si riconduce a quella data per polinomi, facendo riferimento all’espressione algebrica tramite la quale essa è definita. Per esempio, una conica è detta irriducibile quando il polinomio omogeneo di secondo grado che la esprime è irriducibile, ossia non si può spezzare nel prodotto di due fattori lineari, nel qual caso la conica è priva di punti doppi e non si spezza in una coppia di rette distinte o coincidenti.
☐ In aritmetica si dice irriducibile una frazione alla quale non è possibile far assumere una forma più semplice di quella sotto cui è data (per esempio 13/17); in tale caso si dice anche che la frazione è ridotta ai minimi termini. I due termini di una frazione irriducibile sono necessariamente numeri primi tra loro; altrimenti essi si potrebbero dividere per il loro massimo comun divisore esprimendo così la frazione in forma più semplice.