isomorfismo

isomorfismo

Corrispondenza o relazione tra enti matematici o sistemi di enti matematici che esprime l’identità delle loro strutture in un senso opportuno. Un isomorfismo in una categoria arbitraria è un morfismo invertibile, ovvero un morfismo φ tale che esista un altro morfismo φ⁻¹ tale che φ⁻¹φ e φφ⁻¹ siano entrambi uguali al morfismo identità. Per es., nella categoria i cui oggetti sono spazi topologici e i morfismi (frecce) applicazioni continue, un isomorfismo è un’applicazione iniettiva (uno a uno) e suriettiva e dunque appunto invertibile; nel caso della categoria i cui oggetti sono gruppi e le frecce omomorfismi (cioè applicazioni che conservano le operazioni di gruppo, per es. φ(ab)=φ(a)φ(b)), gli isomorfismi sono gli omomorfismi invertibili. Quest’ultima affermazione, con le modifiche necessarie alla nozione di omomorfismo, resta vera per qualunque categoria di oggetti algebrici. Il concetto di isomorfismo è sorto proprio in relazione all’analisi di enti algebrici concreti (in principio i gruppi) e solo successivamente è stato esteso a una classe più ampia di strutture. Un altro classico esempio di sistemi isomorfi è l’insieme ℝ dei numeri reali considerato come gruppo per l’operazione di addizione e l’insieme ℝ₊ dei numeri reali strettamente positivi considerato come gruppo per l’operazione di moltiplicazione. In questo caso l’isomorfismo φ:ℝ→ℝ₊ non è altro che la funzione esponenziale, il suo inverso il logaritmo. La relazione di isomorfismo è riflessiva, simmetrica e transitiva e definisce dunque una relazione di equivalenza che divide ogni classe di enti matematici in classi di equivalenza disgiunte. Classificare un insieme di enti matematici significa quindi caratterizzare una a una le sue classi di equivalenza per isomorfismo. A questo riguardo, ricordiamo il cosiddetto problema dell’isomorfismo: determinare un algoritmo che permetta di stabilire se due sistemi algebrici definiti ricorsivamente siano o meno isomorfi.

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