ISOPERIMETRI
ISOPERIMETRI
. 1. Preliminari. - Per chiarire il concetto matematico di isoperimetri conviene premettere qualche semplice osservazione.
La grandezza superficiale di una figura piana dipende, in un certo senso, dalla lunghezza del relativo contorno. Così, p. es., l'area di un quadrato è la sedicesima parte della seconda potenza del suo perimetro. Similmente diamo qui l'area, in decimetri quadrati, di alcune figure piane, il cui contorno abhia per tutte la lunghezza di 1 m.
In ogni caso figure piane simili hanno aree proporzionali ai quadrati dei relativi contorni e il fattore di proporzionalità dipende dalla forma della figura considerata, sicché nulla di preciso si può asserire circa l'area di una figura piana quando di essa si conosca solo la lunghezza del contorno.
Insomma gli esempî precedenti mostrano, che, a parità di contorno, l'area dipende dalla forma. Di più, parlando alla buona, si può dire che tale area è tanto maggiore quanto più la forma è arrotondata, tanto minore quanto più invece la forma sia allungata. Anzi, assegnata che sia la lunghezza del contorno, si potrà sempre assumere una figura, p. es., rettangolare, così allungata che l'area sia minore di una qualsiasi misura prefissata, per quanto piccola. Ma mentre variando la forma di una figura piana di dato contorno l'area può diventare comunque piccola, per contrario non può riuscire comunque grande: è infatti chiaro che una figura, il cui contorno sia di 1 m., sarà sempre rinchiudibile in un cerchio di 1 m. di diametro, e quindi risulterà sempre minore di quella di tale cerchio.
Si presenta pertanto il problema di determinare quale sia la figura di area massima fra tutte le figure piane di ugual contorno, o, più semplicemente, fra quelle di una data specie (sempre di ugual contorno). È questo il problema fondamentale degl'isoperimetri che, per analogia, dalle figure piane si estende alle figure solide, ove si considera data la superficie e si cerca la figura di massimo volume. I risultati relativi verranno indicati nei successivi paragrafi; qui terminiamo questa introduzione ricordando che la parola "isoperimetri" è parola del linguaggio tecnico di origine greca: ἴσος = uguale, περί = intorno, μέτρον = misura. Isoperimetri si diranno dunque le figure il cui contorno abbia ugual lunghezza, quali sono, ad esempio, quelle indicate dalla tabella precedente.
2. Legge di reciprocità. - Si fissi una particolare famiglia di figure: p. es., quella dei triangoli. È chiaro che la figura di area massima, fra quelle che hanno lo stesso contorno, coincide con la figura di contorno minimo fra quelle che hanno la stessa area. Ad esempio, se un triangolo T ha l'area S, massima tra quelli dello stesso perimetro p, ha anche il perimetro minimo tra quelli aventi l'area S. Infatti, qualora esistesse un triangolo T′ di area S e di perimetro p′ 〈 p, si troverebbe anche un triangolo T″, simile a T, di perimetro p″ = p e di area S″ > S. Il principio sopra indicato permette di ridurre la ricerca della figura di area massima alla ricerca della figura di perimetro minimo e viceversa.
3. Poligoni isoperimetrici. - Se si confrontano tutti i triangoli di ugual base e uguale area (e così di uguale altezza) si trova che l'isoscele ha il perimetro minimo. Ciò dipende dal fatto che di tutti i cammini che vanno da un punto A a un punto B, passando per un punto C variabile sopra una retta r parallela ad AB, il cammino minimo AC + CB (fig. 1) si ha quando i segmenti AC e CB sono ugualmente inclinati sopra la r, e quindi fra loro uguali, costituendo il cammino percorso da un raggio luminoso, che, uscendo da A, passi per B dopo esser stato riflesso da una superficie speculare data da r. In forza della legge di reciprocità si ha che fra tutti i triangoli di data base e dato perimetro l'isoscele ha l'area massima.
Se si lascia variabile anche la base e si considerano tutti i triangoli di dato perimetro, quello di area massima risulta l'equilatero, che è isoscele rispetto a qualsiasi suo lato, assunto come base. Il triangolo equilatero ha anche la proprietà di essere equiangolo. Se generalizziamo il problema cercando il poligono di area massima tra quelli di un dato numero n di lati (e, s'intende, di dato perimetro) si trova che il poligono deve essere ancora equilatero ed equiangolo, cioè deve essere il poligono regolare.
Si possono ora confrontare i poligoni regolari con un diverso numero di lati, p. es., un pentagono e un esagono. Si fissi un punto di un lato del pentagono; questo punto divide il lato in due, sicché il pentagono stesso appare ora come un esagono con due lati più piccoli degli altri e posti per diritto, e così un esagono non regolare. Segue che il pentagono regolare ha area minore dell'esagono regolare, cioè che, a parità di perimetro, l'area di un poligono regolare cresce col crescere del numero dei lati.
A questo punto conviene considerare la successione dei poligoni regolari di 3, 4, 5... lati, aventi un medesimo perimetro p. È ovvio che questa successione di poligoni ha per limite il cerchio di circonferenza p; p. es., il poligono regolare di 1000 lati, il cui perimetro sia di 1 dm. non si potrebbe assolutamente distinguere da un cerchio. Poiché l'area di tali poligoni cresce col numero dei lati, si conclude che il cerchio ha area maggiore di qualsiasi poligono di ugual contorno.
D'altra parte ogni figura piana F può essere approssimata quanto si vuole da un poligono i cui vertici appartengano al contorno della figura stessa: poiché tale poligono si discosta essenzialmente da un poligono regolare appena la figura F sia diversa dal cerchio, si conclude che anche rispetto alla F il cerchio di ugual contorno risulta di area maggiore, cioè: fra tutti gl'isoperimetri piani il cerchio ha la massima area.
4. Poligoni vincolati. - Un poligono regolare si può definire come un poligono equilatero inscritto in una circonferenza, o anche circoscritto a una (altra) circonferenza. Consideriamo la classe dei poligoni che hanno i medesimi lati, ma variabili gli angoli: chiameremo questi poligoni articolati in quanto si possono ottenere tutti da un unico modello materiale costruito con asticelle rettilinee, collegate a cerniera negli estremi. Se si cerca il poligono articolato di area massima si trova che esso è quello inscrittibile in una circonferenza.
Se invece di fissare i lati si fissano gli angoli di un poligono, con che, messa a posto la direzione di un lato resta determinata quella di tutti gli altri, avremo i cosiddetti poligoni orientati. Accade che fra tutti i poligoni orientati isoperimetrici quello di area massima è circoscrittibile a una circonferenza.
5. Isoperimetri spaziali. - Le questioni relative agl'isoperimetri piani si estendono alle figure spaziali.
Anzitutto si possono considerare figure superficiali tracciate sulla sfera e il relativo contorno. Per queste valgono sostanzialmente le stesse proposizioni che per le figure piane, ove si sostituiscano ai segmenti gli archi di cerchio massimo. In particolare, fra tutti i poligoni isoperimetrici di dato numero di lati, ancora il regolare è quello di area massima, e ancora il cerchio ha l'area massima fra tutte le figure isoperimetriche tracciate sulla sfera.
Passando ai solidi i risultati fondamentali sono i seguenti. Per i prismi: 1. fra tutti i prismi di data base e data superficie laterale il prisma retto ha volume massimo; 2. fra tutti i prismi a n facce laterali, di cui sia data l'area della base e la superficie laterale, il regolare ha il volume massimo; 3. fra due prismi regolari di basi equivalenti ed eguali superficie laterali ha volume maggiore quello che ha maggior numero di facce; 4. il cilindro circolare retto ha volume maggiore di ogni prisma che abbia base equivalente e superficie laterale uguale; 5. il cubo ha il volume massimo fra tutti i prismi quadrangolari di ugual superficie totale; 6. più in generale fra tutti i prismi, di cui è fissata la superficie totale e il numero delle facce, ha volume massimo quello regolare la cui area di base è 1/6 della superficie totale; e, conseguentemente, il cilindro circolare retto, la cui base sia 1/6 della superficie totale, ha il volume massimo fra tutti i prismi e i cilindri di ugual superficie totale.
Per le piramidi valgono proposizioni del tutto analoghe: 1. fra tutte le piramidi, aventi un medesimo numero di facce laterali, basi equivalenti e ugual superficie laterale, quella regolare ha il volume massimo; 2. fra due piramidi regolari di basi equivalenti e di ugual superficie laterale ha volume maggiore quella che ha maggior numero di facce; 3. il cono circolare retto ha volume maggiore di ogni piramide di base equivalente e di uguale superficie laterale; 4. fra tutte le piramidi triangolari (tetraedri) aventi la medesima superficie totale, il tetraedro regolare ha il volume massimo; 5. più in generale fra tutte le piramidi di cui è fissato il numero delle facce ha volume massimo quella regolare la cui base sia ¼ della superficie totale; e, conseguentemente, il cono circolare retto, la cui base sia ¼ della superficie totale, ha il volume massimo fra tutte le piramidi e i coni di eguale superficie totale.
Passando poi ai poliedri in generale, si trova che fra tutti i poliedri, di cui è data l'area e la giacitura delle facce, ha volume massimo quello che è circoscrittibile a una sfera.
Infine la sfera risulta il solido di volume massimo fra quelli racchiusi da una medesima superficie.
6. Commento. - Abbiamo indicato, molto rapidamente, le proposizioni fondamentali della teoria elementare degl'isoperimetri, tentando anche di adombrarne i nessi logici; ora convengono alcune parole di commento.
Anzitutto il significato fisico di certe proposizioni. Ad esempio, supponiamo di avere costruito con una sottile lamina flessibile la superficie laterale di un cilindro retto (di sezione variabile) e di poggiare la base di questo sopra un piano orizzontale in modo da ottenere la perfetta tenuta. Riempiamo ora il cilindro con un liquido pesante: il liquido tenderà ad assumere il livello minimo e deformerà conseguentemente la superficie laterale, sicché questa assumerà la forma di un cilindro circolare. Similmente la proprietà isoperimetrica della sfera dà ragione della forma assunta dalle bolle di sapone, il cui velo superficiale tende ad avere la minima area possibile.
In secondo luogo vale la pena di notare come le figure che realizzano il massimo siano quelle cui compete la maggiore simmetria e la maggiore regolarità: notiamo ciò solo superficialmente, in quanto il precisare e l'approfondire tali questioni porterebbe a considerazioni alquanto lunghe e complesse.
Resta infine un'altra considerazione di carattere funzionale. Consideriamo, ad esempio, il problema della ricerca dell'esagono di area massima tra quelli di dato perimetro. Per un esagono generico, di cui sia dato il perimetro, possono assumersi ad arbitrio, come variabili indipendenti, 5 lati e 5 angoli (la somma dei 6 lati deve dare il perimetro e la somma dei 6 angoli deve dare 8 retti). L'area di un tale esagono variabile appare dunque come una funzione di un numero finito di variabili (cioè 10) e il ricercarne il massimo è un usuale problema di calcolo differenziale. Di natura essenzialmente diversa è invece la ricerca della linea piana (di data lunghezza) che racchiude la massima superficie. Qui l'ente variabile, la linea, non può farsi dipendere da un numero finito di variabili, ma piuttosto costituisce essa stessa una funzione variabile. La sua area appare dunque una funzione di linea, o funzionale; e si cerca una funzione che renda minimo un certo funzionale. Si ha in ciò l'esempio di un problema tipico del calcolo delle variazioni.
7. Cenno storico. - Due parole infine di orientamento storico. Gran parte della teoria degl'isoperimetri piani rientra nella geometria greca: è dovuta a Zenodoro e si trova nel V libro delle Mathematicae Collectiones di Pappo; il teorema dei poligoni articolati appartiene a G. Cramer (1852) e quello dei poligoni orientati a Lhuilier (1782).
Le proprietà relative alle figure spaziali si devono principalmente a J. Steiner (1842), che ha svolto una trattazione generale e organica di tutti questi problemi; il teorema relativo ai poliedri circoscrittibili è di L. Lindelöf. Conviene anche osservare che le dimostrazioni dei teoremi dell'isoperimetria presentano difficoltà tecniche non lievi quando si voglia procedere con assoluto rigore (evitando di postulare - più o meno esplicitamente - l'esistenza di figure che realizzino il massimo richiesto); notevoli contributi, da questo punto di vista critico, si devono a E. Study, C. Carathéodory, L. Tonelli.
Altri matematici hanno considerato gli stessi problemi apportando alla loro trattazione varî perfezionamenti tecnici che qui non interessano.
Bibl.: O. Chisini, Sulla teoria elementare degli isoperimetri, in F. Enriques, Questioni riguardanti le matematiche elementari, parte 3ª, Bologna 1927, pagine 201-310.