isoperimetria

isoperimetria

isoperimetria relazione che lega due figure del piano (dette figure isoperimetriche o semplicemente isoperimetri) aventi lo stesso perimetro. Il problema classico dell’isoperimetria è quello di individuare, in una famiglia di isoperimetri, la figura di area massima. Per esempio, fra tutti i rettangoli di dato perimetro quello di area massima è il quadrato. In generale, i poligoni regolari sono quelli che rendono massima l’area a parità di perimetro e di numero di lati. Facendo invece variare il numero dei lati, fissato il perimetro, all’aumentare di tale numero aumenta l’area del corrispondente poligono regolare, cosicché, con un ragionamento al limite, la circonferenza risulta la linea che, a parità di lunghezza, racchiude la massima area. Utilizzando la nozione di isoperimetria può essere data una definizione di ellisse come luogo dei vertici liberi di una famiglia di triangoli isoperimetrici aventi un lato fisso. Il problema degli isoperimetri è analogo al problema degli isoestesi nello spazio tridimensionale. In analogia con la circonferenza nel piano, la sfera rappresenta, fra tutti i solidi di data superficie, quello di massimo volume, il che equivale ad affermare che la sfera è fra tutti i solidi di uguale volume quello racchiuso nella superficie minima. Il problema degli isoperimetri si generalizza a spazi di dimensione qualsiasi. Più in generale, si chiamano problemi isoperimetrici quelli consistenti nel determinare, tra tutte le funzioni che soddisfano a certe condizioni ai limiti e fanno assumere a un dato integrale definito il medesimo valore, quella che rende minimo (o massimo) un altro assegnato integrale definito. Quello degli isoperimetri è un esempio di problema di calcolo delle → variazioni.

Il problema degli isoperimetri ha il suo analogo in fisica nel principio della minima azione che rende ragione, per esempio, della forma sferica di una bolla di sapone.