isoperimetrico

isoperimetrico

isoperimètrico [agg. (pl.m. -ci) Comp. di iso- e perimetrico] [ALG] (a) Di figure geometriche piane il cui contorno (perimetro) abbia uguale lunghezza. (b) Estensiv., di solidi limitati da superfici che abbiano la stessa area. ◆ [ANM] Problema i. piano: consiste nel determinare quale sia la figura di area massima tra tutte le figure piane i. (nel signif. a) o, restrittivamente, tra figure i. di una data specie, per es. poligoni con un dato numero di lati; nello spazio si pone l'analogo problema di trovare, tra tutte le superfici chiuse aventi la medesima area, quella che racchiuda il massimo volume (problema i. spaziale). Le figure che risolvono i vari problemi sono quelle cui compete la massima simmetria e regolarità: così, tra i triangoli i. aventi un angolo assegnato α (fig. 1) ha area massima il triangolo isoscele; tra i poligoni i. di n lati quello di area massima è il poligono regolare di n lati (fig. 2, per il caso n = 5); tra tutte le figure piane i. di data dimensione a il cerchio ha la massima area (fig. 3); tra tutti i solidi i. la sfera ha il massimo volume; ecc. Dal risultato ora citato si deduce la disuguaglianza i.: A≤L2/(4π) tra l'area A racchiusa da una curva chiusa e la sua lunghezza L (giacché L2/(4π) è l'area del cerchio la cui circonferenza ha lunghezza L). Il problema si può porre per figure appartenenti non a un piano, ma a una data superficie Σ, si domanda, cioè, di tracciare su Σ le linee chiuse di data lunghezza che racchiudano una porzione di Σ avente la massima area possibile; in questa formulazione generale il problema i. non è di semplice soluzione tranne che per superfici particolari: per es., se Σ è un cono di rotazione le linee cercate sono circonferenze situate su piani perpendicolari all'asse del cono (c nella fig. 4). I problemi i. rappresentano un primo esempio dei problemi trattati nel calcolo delle variazioni (v. variazioni, calcolo delle: VI 462 a); si tratta infatti di determinare i valori massimi di una grandezza (in questo caso l'area) che è funzione non di un parametro variabile, ma di una curva variabile (in questo caso la curva contornante, di lunghezza fissata). ◆ [ANM] Disuguaglianza i.: v. sopra: Problema i. piano.