GAUSS, Karl Friedrich

GAUSS, Karl Friedrich

Matematico, fisico, astronomo e geodeta, nato a Brunswick il 30 aprile 1777, morto a Gottinga il 23 febbraio 1855.

Periodo giovanile (1794-1801). Aritmetica e algebra. - Uscito nel 1794 dal Collegio Carolino di Brunswick, passò a studiare nell'università di Gottinga, e attese con particolare predilezione a ricerche di alta aritmetica. Le continuò a Helmstädt nel 1798, assieme con altre di carattere algebrico, giovandosi di quella ricca biblioteca e dei consigli e ammaestramenti di H. Pfaff. Il primo frutto di queste sue ricerche è la celebre dissertazione: Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (Helmstädt 1799). È la prima dimostrazione rigorosa del "teorema fondamentale dell'algebra", e vi si trovano interessanti considerazioni storiche e critiche, specialmente a proposito delle insufficienti dimostrazioni di D'Alembert e di Eulero. (Dello stesso teorema egli pubblicò più tardi nel 1815 e nel 1816 altre due dimostrazioni). Ritornato a Brunswick e riconosciute già mature le sue ricerche di aritmetica superiore, le pubblicava, sotto gli auspici del duca, col titolo: Disquisitiones arithmeticae (Lipsia 1801). È l'opera monumentale della sua giovinezza, che lo rivelò al mondo scientifico. Con essa la teorica dei numeri assunse una forma organica.

È vero che molti risultati erano stati già ottenuti da Fermat, Eulero, Lagrange, Legendre, e quest'ultimo anzi da qualche anno aveva pubblicato il suo Essai d'une Théorie des nombres (Parigi 1798), ma l'opera del G. si distingue per il completo, rigoroso, ordinato sviluppo degli argomenti, spesso trattati con metodi originali ed eleganti; l'investigazione è spinta assai più lontano e dove gli altri non erano riusciti, onde l'opera destò la generale ammirazione. Fra i contributi essenziali e nuovi va ricordata, nella teoria delle congruenze, la dimostrazione della "legge di reciprocità dei residui quadratici" e quella dell'esistenza delle "radici primitive" di un numero primo (v. aritmetica, n. 8: IV, p. 373). A tale esistenza si collega la teoria algebrica della divisione della circonferenza in n parti eguali, teoria che il G. volle perciò includere, a chiusura dell'opera, e dove egli dà le condizioni necessarie e sufficienti sui devono soddisfare i fattori primi di n perché la detta divisione possa effettuarsi con la riga e il compasso, ossia perché l'equazione in cui si traduce il problema sia risolubile per soli radicali quadratici. Il metodo suo, veramente geniale, precorse di un trentennio le ricerche di E. Galois (v.) sulle equazioni algebriche risolubili per radicali. Nella teoria aritmetica delle forme binarie quadratiche, cui sono dedicate le sezioni 5ª e 6ª dell'opera, il G. perfeziona i risultati di Lagrange sull'equivalenza delle forme e sull'analisi indeterminata di 2° grado a due incognite, estendendoli anche alle forme ternarie quadratiche. Su quest'argomento ritornò più tardi, particolarmente riguardo al calcolo del numero delle classi di forme equivalenti di dato determinante, preludendo agli sviluppi ulteriori di P. G. Dirichlet, Ch. Hermite, A. Cayley, L. Bianchi. Un'altra teoria aritmetica, quella dei "residui biquadratici" egli maturò in seguito, pubblicando (1828, 1832) due lavori, che contengono la prima estensione dell'ordinaria teoria della divisibilità degl'interi razionali a un campo d'integrità più ampio: quello dei numeri complessi interi, cioè della forma a bi (a, b interi razionali, i l'unità immaginaria), detti oggi "interi di Gauss (v. aritmetica; n. 15: IV, p. 376). Non mancano, in questo suo periodo giovanile, spigolature in altri campi, ad es. nella teoria delle funzioni ellittiche (sulle funzioni lemniscatiche) e nei fondamenti della geometria. Si occupò anche di problemi cronologici, e va ricordato il suo elegante procedimento per la determinazione della data di Pasqua (1800, Werke, VI).

Secondo periodo (1801-1816). Astronomia. - Già nel 1794, a 17 anni, quand'era ancora allievo nel Collegio Carolino di Brunswick, aveva trovato "il metodo dei minimi quadrati" per la valutazione degli errori dovuti alle osservazioni (v.). La scoperta dei piccoli pianeti Cerere e Pallade gli diede l'occasione di applicarlo. S'inizia così il periodo della sua attività astronomica, che si esplica a Brunswick sino al 1807 e poi a Gottinga. I suoi primi lavori astronomici sono tutti pubblicati nella Monatliche Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmelskunde, diretta da F. von Zach: sull'orbita di Cerere (1801), sui primi elementi di Pallade (1802), equazioni e tavole delle perturbazioni di Cerere (1802, 1803), sui primi elementi di Giunone (1805), sulla seconda cometa del 1805 (1806). Questi lavori lo mettono in relazione coi maggiori astronomi d'Europa. Già fin dal 1802 è sollecitato ad assumere a Pietroburgo l'ufficio di astronomo nell'Accademia imperiale delle scienze e la direzione di quell'osservatorio, ma lo trattengono dall'accettare l'attaccamento alla sua terra e la devozione al duca, che lo fornisce di strumenti d'osservazione e gli promette la costruzione di una piccola specola. Dall'accettare lo sconsiglia anche l'astronomo suo amico H. Olbers, che gli fa intravedere la possibilità di una sua nomina a direttore del nuovo osservatorio di Gottinga. L'invito a Pietroburgo diviene più insistente nel 1807 dopo la morte del duca, ma già nell'agosto di quell'anno il G. è nominato direttore dell'osservatorio di Gottinga e professore d'astronomia in quella università: questi due uffici egli ricoprì sino al termine della sua vita, dedicandovi il suo genio e la sua infaticabile operosità. Nel 1808 egli calcola i primi elementi del piccolo pianeta, scoperto da H. W. Olbers, cui dà il nome di Vesta; pubblica: Disquisitio de elementis ellipticis Palladis e Methodus peculiaris elevationem poli determinandi; ma assieme a queste e ad altre ricerche di astronomia pratica egli attende a completare quelle di astronomia teoretica. Già fin dal 1801 si era occupato della teoria del moto della luna (Werke, VII), aveva escogitato un altro metodo per il calcolo delle perturbazioni di Cerere in base a una Theoria interpolationis nova methodo tractata; ma queste ricerche non pubblicò, fedele al principio di render noto solo quello che era maturo: "Pauca, sed matura", era il suo motto. Nel 1809 si decide finalmente a pubblicare la Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium.

Quest'opera fondamentale è divisa in due libri: il 1° tratta delle relazioni generali fra le quantità che definiscono i moti celesti; il 2° riguarda la determinazione delle orbite in base alle osservazioni (tre o quattro). I nuovi metodi, dettagliatamente esposti, sono applicati ai piccoli pianeti: Giunone, Pallade e Cerere, e sussidiati da opportune tavole. In questa teoria il G. prese particolarmente in considerazione le orbite ellittiche ed iperboliche; quattro anni dopo egli colse l'occasione dalle osservazioni relative alla cometa del 1813 per trattare il caso delle orbite paraboliche. È da notare che nella Theoria motus, a proposito dello sviluppo di una funzione in serie di potenze, il G. ebbe la spinta allo studio delle "serie ipergeometriche" che pubblicò pure nel 1813 (Werke, II). Successivamente egli attese alle ricerche generali sulle perturbazioni secolari dei pianeti e nel 1818 si decise a pubblicarle con la memoria: Determinatio attractionis, quam in punctum quodvis positionis datae exerceret planeta, si ius massa per totam orbitam uniformiter esset dispertita.

Terzo periodo (1816-1828). Geodesia e geometria. - Frattanto il G. è interessato dal suo amico H. C. Schumacher, professore di astronomia a Copenaghen, alla preparazione scientifica e tecnica delle operazioni geodetiche in Danimarca (per la misura del grado del meridiano danese); egli stesso è nel 1820 incaricato dal governo di Hannover a dirigere analoghe operazioni fra Gottinga e Altona. In principio di questa campagna durata cinque anni, la necessità di segnali precisi (non soggetti a errori di fase) lo spinge all'invenzione di un semplice quanto ingegnoso strumento cui dà il nome di "eliotropo". Durante questo tempo attende pure a ricerche teoriche; fra le più notevoli è una nuova trattazione del metodo dei minimi quadrati: Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae, che pubblica successivamente in tre parti (1821, 1823, 1826); segue la memoria premiata dalla Società delle scienze di Copenaghen sulla rappresentazione conforme delle superficie (1822), con la quale il G. risponde alla questione posta a concorso: Generaliter superficiem datam in alia superficie ita exprimere ut partes minimae imaginis archetypo fiant similes. E nel 1828 pubblica le fondamentali Disquisitiones generales circa superficies curvas, con cui sviluppa un nuovo ramo, oggi rigoglioso, di matematica pura.

Fra i contributi più notevoli che G. dà in questo lavoro sono da segnalare i teoremi relativi alle coordinate geodetiche, alla curvatura geodetica, la dimostrazione della proprietà che comunque si deformi una superficie flessibile ed inestendibile rimane invariato, in ciascun punto, il prodotto delle curvature principali (la cosiddetta "curvatura totale" o di Gauss). Ai fondamenti della geometria Gauss rivolse pure la sua attenzione fin dalla prima giovinezza. Dalla sua corrispondenza con Schumacher, Wolfgang Bolyai, Taurinus, Gerling e da alcuni suoi appunti manoscritti risulta che egli ebbe la chiara visione della possibilità di una geometria indipendente dal postulato V di Euclide molto tempo prima che apparissero le opere di J. Bolyai (1831) e N. I. Lobačevskij (1840), dimostrando alcuni teoremi fondamentali di una nuova geometria che prima denominò "anti-euclidea" poi "non-euclidea" (v. geometria).

Quarto periodo (1828-1841). Fisica matematica. - Col 1828 si inizia un nuovo periodo dell'attività scientifica del G. Nel settembre, a Berlino, ospite di Alexander von Humboldt, per partecipare a un congresso scientifico, fa la conoscenza dell'insigne fisico Wilhelm Weber, allora professore ad Halle, e fra le varie questioni di fisica su cui s'intrattiene con lui, con Humboldt e altri scienziati, egli particolarmente si sofferma sui problemi relativi al magnetismo terrestre, ai quali da tempo aveva rivolto la sua attenzione. Ritornato a Gottinga, continua le sue osservazioni sull'intensità magnetica e, nel 1829, assieme con il fisico belga Quételet. Nel 1830 pubblica nel Giornale di Crelle la nota in cui stabilisce quel principio generale e fondamentale della meccanica, che è detto "della minima costrizione" o "del minimo sforzo" (v. dinamica); e presenta alla Società delle scienze di Gottinga la memoria: Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statit aequilibrii, notevole anche per l'influenza che ebbe sullo sviluppo del calcolo delle variazioni, in quanto per la prima volta viene risolto un problema di variazione in un campo bidimensionale con le condizioni al contorno. Nel 1831 il Weber è trasferito a Gottinga, e il G. trova in lui, oltre che l'amico devoto, il prezioso collaboratore nelle sue ricerche sul magnetismo, e primo frutto ne è il lavoro: Intensitas vis magneticae terrestris, ad mensuram absolutam revocata (1832). Per eseguire le delicate osservazioni egli ottiene la costruzione di un osservatorio magnetico, che comincia a funzionare nell'autunno del 1833, e dove egli assume principalmente il compito di determinare la declinazione e le sue variazioni giornaliere, mensili, annuali. Promuove analoghe determinazioni in altri paesi, fondando così il Magnetische Verein, i cui risultati sono raccolti in un periodico, diretto da lui e dal Weber: Resultate aus den Beobachtungen des Magnetischen Vereins (1836-41). Nel 1836 pubblica la memoria: Erdmagnetismus und Magnetometer e l'anno dopo inventa il "magnetometro bifilare", che serve alla determinazione delle variazioni della componente orizzontale della forza magnetica terrestre nello stesso modo come il magnetometro per la declinazione. Nel 1839 pubblica nei Resultate la memoria: Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus, cui fa seguire l'Atlas der Erdmagnetismus, e come a conclusione di quelle sue ricerche i teoremi generali relativi alle forze d'attrazione e di repulsione, varianti in ragione inversa del quadrato delle distanze, fra cui si trovano le proposizioni fondamentali della teoria del potenziale, che sono legati al suo nome. Si occupò anche del problema della telegrafia elettromagnetica, e si deve al contributo suo e del Weber se più tardi, con Steinheil e Matteucci, tale problema trovava una soluzione pratica. Attese alla risoluzione di varie questioni di diottrica, calcolò il doppio obiettivo acromatico, fece costruire oculari usati tuttora, che portano il suo nome, e nel 1840 pubblicò le Dioptrische Untersuchungen, in cui sono raccolti i risultati che egli aveva ottenuto da vario tempo in questo campo.

Quinto periodo (1841-1855). Ritorno alla geometria. - Ma la sua attività nel campo della fisica matematica andò via via scemando, specialmente dopo il trasferimento del Weber a Lipsia (1843). Egli riprende le sue ricerche teoriche di geodesia superiore, pubblicando le due memorie: Über Gegenstände der höheren Geodäsie (1843, 1846), investiga con maggiore profondità e ampiezza sui fondamenti della geometria, si occupa di "geometria situs" e dell'interpretazione geometrica dei numeri complessi. E rivolge pure la sua attenzione all'algebra, e particolarmente alla teoria delle equazioni (1850). Ma l'aritmetica fu e restò sempre per lui la regina delle matematiche. Negli studî geometrici preferì i metodi analitici, ma non gli furono estranee le vedute sintetiche, e dichiarava che "i mezzi logici nulla possono se non produrre sterili fiori, quando non domina la fertile intuizione dell'argomento". Aveva un concetto altissimo della scienza, e sulle relazioni di questa con la pratica pensava che la scienza "dev'esserne l'amica, non la schiava, farle doni, non servizio".

Ediz.: Le opere sono state pubblicate dalla Società delle Scienze di Gottinga (12 volumi, 1870-1930). Sono apparsi varî volumi della corrispondenza del G. con Schumacher (Altona 1860-65), A. von Humboldt (Lipsia 1877), F. W. Bessel (ibidem 1880), W. Bolyai (ibidem 1899), H. Olbers (Berlino 1900, 1909), C. L. Gerling (ibidem 1927).

Bibl.: Sulla vita del G. vedi W. Sartorius v. Waltershausen, G. zum Gedächtnis, Lipsia 1856; L. Hänselmann, K. F. G., Lipsia 1878; L. Schlesinger, Der junge G., in Nachrichten d. Giessener Hochschulges., V, 1927; H. Mach, C.F.G. und die Seinen Festschrift zu seinem 150 Geburtstage, Brunswick 1927.