La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. La scuola matematica di Mosca
La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. La scuola matematica di Mosca
La scuola matematica di Mosca
La matematica a San Pietroburgo e a Mosca
Nella seconda metà del XIX sec. i centri della vita matematica russa erano l'Academia Scientiarum Imperialis Petropolitana, fondata nel 1725 da Pietro il Grande, e l'Università di Mosca, fondata nel 1755. Fulcro della vita matematica nella capitale russa era l'attività di Pafnutij L′vovič Čebyšev (1821-1894) e della sua scuola. Čebyšev era celebre per i suoi contributi alla teoria dei numeri e alla probabilità e per i suoi lavori sui metodi di approssimazione (formule per l'integrazione numerica e polinomi per l'approssimazione di funzioni che oggi portano il suo nome). Allo stesso spirito si ispirava la sua scuola, di cui facevano parte Egor Ivanovič Zolotarev (1847-1878), Andrej Andreevič Markov (1856-1922), Aleksandr Michajlovič Ljapunov (1857-1918) e Vladimir Andreevič Steklov (1864-1926), che ottennero notorietà e riconoscimenti internazionali. In particolare, Markov studiò la teoria della probabilità e dei processi stocastici elaborando concetti e metodi fondamentali come le 'catene' e 'processi' che oggi portano il suo nome. Altrettanto notevoli furono i contributi in questo campo di Ljapunov, che tuttavia ha legato il suo nome soprattutto a risultati pionieristici nella teoria delle equazioni differenziali, dei sistemi dinamici e della stabilità.
A eccezione della teoria dei numeri, campo di ricerca tradizionale a San Pietroburgo fin dai tempi di Euler, caratteristico per lo spirito positivistico di questa scuola fu infatti l'interesse per la ricerca di algoritmi e metodi per la soluzione numerica dei problemi, nonché per le applicazioni alla fisica matematica e alla meccanica. "Noi risolviamo problemi concreti, grazie a metodi concreti e rigorosi e non tolleriamo alcuna nebbia filosofica", affermavano i matematici di San Pietroburgo. Un tale indirizzo determinò una certa diffidenza nei confronti delle nuove tendenze che provenivano dall'Occidente, in particolare verso le idee di Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), giudicate come decadentismo matematico, e nei confronti dei dibattiti sui fondamenti della matematica.
Assai diverso era l'atteggiamento dei matematici moscoviti. Negli anni Sessanta avevano dato vita a una Società matematica, di cui primo presidente fu Nikolaj Dmitrevič Brašman (1796-1866), che aveva studiato a Vienna e si era trasferito a Mosca nel 1824. La prima riunione della Società ebbe luogo nel suo appartamento nel settembre del 1864. I soci fondatori erano tredici, compreso Čebyšev, residente a San Pietroburgo. Dal 1866 la Società cominciò a pubblicare una propria rivista, il "Matematičeskij sbornik"e la sua attività determinò il ritmo della vita matematica moscovita tra l'ultimo quarto del XIX e l'inizio del XX secolo. Intorno al 1913 essa contava 112 membri, 78 dei quali vivevano fuori Mosca (ivi compresi 21 matematici stranieri).
A Mosca si coltivavano con successo diversi campi di ricerca. Brašman aveva posto le basi per gli studi di meccanica teorica e matematica applicata, che a cavallo del secolo conobbero un notevole sviluppo grazie a Nikolaj Egorovič Žukovskij (1847-1921). Nel settore della geometria, in primo luogo della geometria differenziale, la figura più originale fu Karl Michailovič Peterson (1828-1881) che già nella dissertazione di dottorato ‒ sostenuta a Dorpat nel 1853 sotto la direzione di Ferdinand Minding (1806-1885) ‒ aveva manifestato il suo notevole talento, individuando tra l'altro le proprietà dei coefficienti della seconda forma quadratica fondamentale di una superficie. Questa dissertazione è stata pubblicata soltanto nel 1952 e le equazioni in essa contenute furono riscoperte da Gaspare Mainardi (1800-1879) e Delfino Codazzi (1824-1873) tra il 1857 e il 1869. In una serie di lavori sulla deformazione delle superfici e sulla teoria geometrica delle equazioni differenziali alle derivate parziali Peterson ottenne una serie di notevoli risultati, che rimasero praticamente sconosciuti all'estero. Egli non aveva alcuna posizione accademica, essendo un insegnante di un istituto secondario di Mosca. I suoi contributi esercitarono una grande influenza sui giovani geometri moscoviti, ma divennero noti in Occidente soltanto nel 1905, quando ne comparve un'ampia rassegna in traduzione francese. Tra gli altri indirizzi di ricerca coltivati a Mosca va segnalata la teoria dei numeri, con i lavori di Nikolaj Vasil′evič Bugaev (1837-1903), l'analisi complessa, di cui si occupò con successo Aleksandr Ivanovič Nekrasov (1883-1957), e, infine, la teoria delle probabilità e le sue applicazioni alle scienze sociali.
Un elemento caratteristico dell'attività dei matematici moscoviti fu l'interesse per la filosofia, che cominciò a manifestarsi negli anni Settanta del XIX secolo. I matematici ebbero allora un ruolo di rilievo anche nell'attività della Società psicologica di Mosca. Bugaev, il più influente matematico moscovita dell'epoca, presidente della Società matematica, fu anche un filosofo originale, che lasciò una traccia nella storia del pensiero filosofico russo. Passato dal positivismo al razionalismo idealistico, Bugaev, aveva infine elaborato un proprio sistema, la cosiddetta 'monadologia evoluzionistica', ispirata alla filosofia di Gottfried Wilhelm Leibniz. Egli espose le sue idee al I Congresso internazionale dei matematici a Zurigo nel 1897 in una relazione sulla 'visione del mondo scientifico-matematica'.
Questa 'visione', secondo Bugaev era intimamente connessa con la teoria delle funzioni, che egli suddivise in due parti: la teoria delle funzioni continue, ossia l'analisi matematica, e la teoria delle funzioni discontinue, da lui denominata 'aritmologia'. Al predominio dell'analisi matematica nelle scienze naturali corrisponde il prevalere di una visione che conduce a un 'determinismo totale'. Tuttavia, osservava Bugaev, ci sono una quantità di fatti scientifici che non possono essere spiegati dal punto di vista 'analitico' ma richiedono il ricorso a funzioni discontinue. Nello studio di tali funzioni Bugaev vide uno dei compiti fondamentali della matematica ed egli stesso si impegnò in ricerche su funzioni continue a tratti o funzioni definite in punti isolati (per es., i numeri interi), per le quali elaborò gli analoghi dei concetti di integrale e di differenziale.
Costruire per questa via una solida teoria delle funzioni discontinue era tuttavia un'impresa disperata. Sulla base della teoria degli insiemi di Cantor, tale teoria fu invece elaborata dai matematici francesi René-Louis Baire (1874-1932), Henri-Léon Lebesgue (1875-1941) e émile Borel (1871-1956). Formatosi come matematico negli anni Sessanta, Bugaev non comprendeva il significato della teoria degli insiemi, che era agli albori, e le sue idee rimasero in una posizione marginale. Tuttavia, il suo interesse per la teoria delle funzioni discontinue era pienamente nello spirito del tempo e giocò un ruolo importante nell'evoluzione della Scuola matematica di Mosca.
La Scuola di Egorov-Luzin prima della Rivoluzione
Lo spirito antipositivista della matematica moscovita incontrò reazioni negative nei circoli accademici di San Pietroburgo. Inoltre, l'interesse dei moscoviti verso problematiche che non avevano un aspetto applicativo generarono conflitti nei rapporti tra i matematici delle due capitali, che perdurarono fino agli anni Trenta del XX secolo. In questo stato di cose i giovani e orgogliosi moscoviti si orientarono verso tematiche che permettessero loro di raggiungere posizioni d'avanguardia e che, al tempo stesso, fossero estranee agli interessi degli studiosi della capitale. Tale tematica venne individuata nella teoria delle funzioni di variabile reale, allora sviluppata soprattutto in Francia.
Era una scelta naturale per via del notevole interesse per lo studio delle funzioni discontinue che, grazie agli sforzi di Bugaev, regnava a Mosca. Gli orpelli teologici di cui si ammantavano alcuni ragionamenti di Georg Cantor, che avevano suscitato il rigetto dei matematici di San Pietroburgo, non rappresentavano invece un ostacolo per i moscoviti, che non avevano nulla in contrario a filosofeggiare su questi temi.
Il primo corso di teoria delle funzioni di variabile reale all'Università di Mosca fu tenuto nel 1900. Un ruolo notevole nella creazione di un clima d'interesse per quella teoria fu svolto dal filosofo, teologo e scienziato Pavel Aleksandrovič Florenskij (1882-1937). Nelle riunioni del circolo studentesco da lui organizzato presso la Società matematica, frequentate non soltanto da studenti come Nikolaj Nikolaevič Luzin (1883-1950) ma anche da docenti, e nella sua tesi di laurea, in cui sviluppava le idee filosofiche di Bugaev, Florenskij si prodigò in favore della nuova teoria delle funzioni, che pose in rapporto diretto con la aritmologia del suo maestro.
I matematici francesi divennero ben presto gli interlocutori privilegiati dei giovani moscoviti e i prestigiosi ‟Comptes rendus" dell'Académie des Sciences di Parigi la sede preferita delle loro pubblicazioni. Come data di nascita della Scuola di Mosca sulla teoria delle funzioni di variabile reale si è soliti considerare il 1911, anno in cui Dmitrij Fëdorovič Egorov (1869-1931) pubblica una breve nota nei ‟Comptes rendus" contenente il teorema che oggi porta il suo nome: una successione di funzioni misurabili convergente quasi ovunque su un intervallo risulta uniformemente convergente se si trascura un sottoinsieme di misura piccola a piacere. L'anno successivo, ancora nei ‟Comptes rendus", il suo allievo Luzin pubblicò un articolo in cui mostra che ogni funzione misurabile diventa continua alterandone il valore su un insieme di misura arbitrariamente piccola.
Alla teoria delle funzioni di variabile reale viene assegnato un ruolo preminente nel seminario di Egorov, al quale partecipano, oltre Luzin, giovani destinati a svolgere un ruolo di primo piano, come Vjačeslav Vasil′evič Stepanov (1889-1950) e Ivan Ivanovič Privalov (1891-1941). Nel 1915 viene pubblicata la celebre dissertazione di Luzin Integral i trigonometriceskìj râd (L'integrale e la serie trigonometrica), che determina gli indirizzi fondamentali delle ricerche dei moscoviti nel campo della teoria delle funzioni. Tra il gran numero di risultati notevoli contenuti in quella monografia figurano anche quelli sulla cosiddetta derivata asintotica di Aleksandr Jakovlevič Chinčin (1894-1959), uno dei primi allievi di Luzin, che allora era ancora studente. Nel 1916 Chinčin pubblica nei "Comptes rendus" un articolo nel quale generalizza il concetto di integrale di Denjoy (si tratta del cosiddetto integrale di Denjoy-Chinčin ) e nello stesso anno, ancora nei "Comptes rendus", Dmitrij Evgen′evič Men′šov (1892-1988), anch'egli allievo di Luzin, rende noto un esempio di serie trigonometrica con un'infinità di coefficienti non nulli che converge uniformemente a zero tranne che su un insieme perfetto di misura nulla. Un risultato, questo, del tutto inaspettato per lo stesso Luzin, che vede smentita una congettura avanzata nella sua dissertazione.
Nel 1915 Luzin rivolge le sue ricerche alla teoria descrittiva degli insiemi e l'anno seguente il suo allievo Pavel Sergeevič Aleksandrov (1896-1982) pubblica nei "Comptes rendus" una nota in cui, rispondendo a un quesito posto da Luzin, mostra che ogni insieme non numerabile misurabile secondo Borel contiene un insieme perfetto. Un altro studente di Luzin, Michail Jakovlevič Suslin (1894-1919) si serve del lavoro di Aleksandrov per introdurre nel 1917 una nuova classe di insiemi (detti insiemi di Suslin o analitici). Anche questo risultato appare nei "Comptes rendus", seguito da una nota di Luzin che ne mostra alcune applicazioni. È un risultato di fondamentale importanza. Andrej Nikolaevič Kolmogorov, a questo proposito, scrisse che "Da quel momento il ruolo di guida nelle ricerche sulla teoria descrittiva degli insiemi e delle funzioni passa alla scuola di Mosca".
Mosca diventa dunque nel 1917 uno dei centri all'avanguardia nel campo della teoria delle funzioni di variabile reale. Le ricerche iniziate da Egorov e Luzin sono proseguite dalla prima generazione di allievi. A quell'epoca si poteva tuttavia già osservare una tendenza che sarebbe emersa in seguito: l'ampliamento della tematica di ricerca ben oltre i confini delle teorie sulle funzioni di variabile reale. Ciò venne facilitato in misura non indifferente dagli orientamenti tradizionali emersi a Mosca nel XIX sec. nel campo della meccanica teorica, della geometria e del calcolo delle variazioni, che continuavano a essere coltivati.
La reazione dei matematici di San Pietroburgo all'intensa attività della scuola di Egorov e Luzin fu caratterizzata per lungo tempo da un'altezzosa ostilità. Si racconta che Steklov, mostrando ai suoi interlocutori la dissertazione di Luzin dicesse: "Ma guardate, qui non ci sono formule, è forse matematica questa?". Un altro accademico di San Pietroburgo, Jakov Viktorovič Uspenskij (1883-1947) in una lettera del 1926 scriveva di Luzin: "So che è un bravo specialista nel suo campo (la teoria degli insiemi e tutte le sciocchezze di Cantor e Lebesgue a essa legate), è un brillante professore, che ha creato a Mosca una scuola di allievi e con la sua influenza ha liquidato a Mosca la matematica autentica".
La matematica negli anni della Rivoluzione
La Prima guerra mondiale modificò la consueta vita universitaria e scientifica russa. Ciò riguardò in primo luogo le università che si trovavano in una zona di operazioni militari, come per esempio l'Università russa di Varsavia, che fu trasferita a Rostov sul Don. Un professore di quella università, Josif Vladimirovič Romanovskij, che si trovava a Taškent, vi rimase ben oltre il periodo della guerra, inaugurando una serie di ricerche matematiche in Uzbekistan, che ebbero poi un fiorente sviluppo. Naturalmente, la guerra fu percepita in misura assai minore in quelle parti della Russia che non ne erano direttamente toccate, come Mosca. A dire il vero, fu rallentata l'uscita del "Matematičeskij sbornik" e dal 1913 al 1918 cessarono di arrivare le riviste straniere. Ma tutto ciò è poca cosa in confronto a quanto attendeva i matematici negli anni della Rivoluzione bolscevica e della guerra civile che a essa sarebbe seguita. L'interruzione del normale funzionamento degli istituti e la situazione catastrofica dei rifornimenti alimentari e del combustibile, ridusse i professori universitari in una situazione drammatica. Alla ricerca di mezzi di sussistenza, i giovani di San Pietroburgo si trasferirono nell'Università di Perm, istituita nel 1916, mentre i moscoviti si rifugiarono a Ivanovo-Voznesensk, nell'Istituto Politecnico fondato nel 1918, in cui le condizioni di lavoro per quei tempi potevano considerarsi normali.
Nonostante le difficoltà, la vita matematica nel paese non si arrestò. "Forse in questi primi difficili anni della rivoluzione, la matematica, per ragioni puramente esteriori, si ritrovò a operare in condizioni in qualche modo privilegiate, che le permisero di svilupparsi in maniera più intensa rispetto alle altre scienze esatte", Chinčin avrebbe scritto in seguito. "La matematica non necessitava di laboratori, né di reagenti; carta, matita e forze creative ‒ ecco le premesse del lavoro scientifico in quel campo". Erano sufficienti una biblioteca e 'una certa dose di entusiasmo scientifico' per poter continuare il lavoro. "La mancanza di letteratura specialistica corrente veniva compensata, in qualche misura, dai continui contatti scientifici, che si riuscirono a organizzare e mantenere in quegli anni".
Nel 1921 la guerra civile ebbe termine e i bolscevichi cominciarono a imporre il proprio ordine. La penetrazione della nuova ideologia nella scienza e la creazione di un meccanismo di controllo totale su di essa si presentarono subito come i problemi centrali da affrontare. Uno dei primi compiti svolti dal potere sovietico fu la brusca trasformazione del vecchio sistema universitario e l'organizzazione di uno nuovo, che formasse i 'quadri' scientifici sulla base di un'ideologia fondamentalmente diversa. Risultò più semplice risolvere questo compito cominciando con il modificare la composizione sociale della comunità studentesca. Agli istituti di istruzione superiore furono ammessi tutti coloro che lo desideravano, indipendentemente dal possesso di un'istruzione di livello secondario, dando la preferenza a quanti provenivano dal proletariato e dalle classi contadine più povere. Nel volgere di pochi anni la composizione sociale della comunità studentesca subì profondi cambiamenti. Il livello medio degli studenti si abbassò e furono proprio i nuovi studenti a diventare i principali sostenitori dell'ideologia proletaria nelle università. D'altra parte, in tal modo ebbe accesso all'università anche un gran numero di giovani di talento, provenienti soprattutto dalle comunità ebraiche, per i quali nella Russia imperiale ci sarebbero state grandi difficoltà a ottenere un'istruzione superiore.
Se la composizione degli studenti poté essere cambiata in maniera relativamente rapida, per modificare in modo sostanziale quella dei professori occorse invece molto tempo. La maggioranza di essi non appoggiava il nuovo regime e perciò si puntò fondamentalmente su quei docenti che subito dopo la Rivoluzione si erano impegnati in modo attivo nell'affermazione del nuovo ordine. Tali erano, per esempio, all'Università di Mosca, l'algebrista Otto Jul′evič Šmidt (1891-1956) ‒ originario dell'Ucraina, grande organizzatore di scienza, con posizione di rilievo nelle organizzazioni governative ‒, Sof′ja Aleksandrovna Janovskaja (1896-1966) ‒ membro del partito bolscevico dal 1918, che prese parte alla guerra civile ‒ e, dalla fine degli anni Venti, Mark Jakovlevič Vygodskij, bolscevico di vecchia data e uno degli ideologi più importanti nell'ambiente dei matematici moscoviti. All'esterno dell'università, una forte influenza ideologica sulla vita matematica era esercitata da Ernst Kolman con interventi sui giornali e alle riunioni di partito. Laureato all'Università di Praga, Kolman si era trovato in Russia durante la Prima guerra mondiale come membro dell'esercito ceco, era entrato nel partito bolscevico e aveva preso parte attiva alla guerra civile e all'edificazione sovietica, fino a diventare membro del Comitato centrale e, negli anni 1936-1937, responsabile del settore scientifico del Comitato di partito di Mosca. Egli rappresentò una delle figure più sinistre nell'orizzonte ideologico della scienza sovietica dell'epoca. Tutti gli avvenimenti drammatici nella storia della matematica di quel periodo portano il tragico segno dei suoi interventi di 'smascheramento' e dei suoi appelli contro i dissidenti.
Nei primi anni Venti il governo si comportò con estrema cautela nei confronti dei vecchi professori, esigendo soltanto lealtà. Per questo motivo si tollerò che Egorov, custode di tradizioni accademiche e uomo profondamente religioso, che non nascondeva il suo atteggiamento negativo nei confronti del nuovo potere, fosse il presidente della Società matematica di Mosca e il direttore dell'Istituto di matematica e meccanica dell'Università fondato nel 1922.
A capo di una scuola riconosciuta in tutto il mondo, Egorov cercò di mantenere viva a Mosca una grande matematica. Luzin, che era tornato da Ivanovo-Voznesensk nel 1920, trovò nella nuova capitale una facoltà attiva e una società matematica funzionante. Al seminario di Luzin, che era ripreso, partecipavano Stepanov e Aleksandrov insieme a giovani docenti come Pavel Samuilovič Uryson (1898-1924) e studenti quali Nina Karlovna Bari (1901-1961), Valerij Ivanovič Glivenko (1897-1940) e Lev Genrichovič Šnirel′man (1905-1938). A essi si aggiunsero ben presto Kolmogorov e Michail Alekseevič Lavrent′ev (1900-1980) e, nel 1922, Pëtr Sergeevič Novikov (1901-1975) e Ludmila Vsevolodovna Keldyš, che dovevano poi diventare marito e moglie (il loro figlio Sergej Petrovič, anch'egli matematico, ottenne la medaglia Fields nel 1970). In quello stesso anno tornarono a Mosca e si inserirono nel lavoro anche Privalov, Men′šov e Chinčin.
La matematica a Mosca negli anni Venti e Trenta
I matematici moscoviti svilupparono la tematica della teoria delle funzioni di variabile reale lungo tre direttrici fondamentali. La prima è rappresentata dalle ricerche di Men′šov, Privalov, Bari, Kolmogorov e altri concernenti le teorie delle serie trigonometriche e delle serie di funzioni ortogonali, nonché dagli studi di Chinčin sulla teoria dell'integrazione e sulla teoria generale delle funzioni misurabili. La seconda è costituita, invece, dalla teoria descrittiva delle funzioni e degli insiemi, avviata nei lavori di Aleksandrov, Suslin e Luzin e proseguita successivamente in un serie di lavori dello stesso Luzin e di Lavrent′ev, Novikov e Kolmogorov. La terza direzione è rappresentata dalla logica matematica e dai fondamenti di matematica. Si tratta dei noti risultati di Kolmogorov sull'interpretazione della logica intuizionista, cui si affiancarono i contributi di Glivenko sul calcolo intuizionistico dei predicati, come il teorema che se una formula può essere provata nella logica classica, allora la negazione della negazione di essa può essere provata nella logica intuizionista. A questi si affiancano i lavori di Novikov sulla non contraddittorietà dell'aritmetica e, infine, quelli di Anatolij Ivanovič Mal′cev (1909-1967), allievo di Kolmogorov, che impiegò i metodi della logica matematica per la dimostrazione di una serie di teoremi di teoria dei gruppi. Tuttavia l'inevitabile spirito filosofico che permeava le ricerche sui fondamenti della matematica ne rendeva estremamente difficile il libero sviluppo nell'atmosfera di controllo ideologico che si era affermata negli anni Trenta per cui queste ricerche cominciarono ad affievolirsi. A tale proposito, Stepanov scriveva che ogni scuola scientifica che avesse una tematica specializzata era minacciata nel corso del suo sviluppo dal pericolo rappresentato dall'epigonismo. Risolti ed esauriti, da studiosi di talento, i problemi fondamentali, quegli stessi studiosi e i loro allievi si disputavano le briciole restanti. La scuola di Mosca nel complesso superò questa difficoltà grazie all'ampliamento del campo di ricerche e all'applicazione dei metodi della teoria delle funzioni e della teoria degli insiemi ad altri settori della matematica.
Nella scuola di Luzin, la tendenza all'ampliamento dei campi di ricerca si manifestò in maniera chiara sin dall'inizio degli anni Venti del secolo. Lo stesso Luzin nella sua dissertazione aveva posto le basi per un intero indirizzo di ricerca incentrato sulle proprietà delle funzioni analitiche. Ai primi lavori dello stesso Luzin e di Privalov sul problema della rappresentazione conforme e dell'integrazione nel campo complesso fecero seguito, dopo la Rivoluzione, le ricerche di Chinčin e Privalov sulle proprietà delle funzioni univalenti, i contributi di Lavrent′ev sull'approssimazione mediante polinomi di funzioni continue di variabile complessa e i lavori di Men′šov sulle condizioni di monogeneità. Alla fine degli anni Venti, anche Aleksandr Osipovič Gel′fond (1906-1968) cominciò a occuparsi di teoria delle funzioni di variabile complessa.
Tra il 1921 e il 1922 i lavori di Uryson posero le basi per la moderna teoria della dimensione. Insieme a quelli di Aleksandrov, essi segnarono l'inizio di una fiorente scuola moscovita di topologia. Dopo la prematura morte di Uryson, nel 1925 si formò intorno ad Aleksandrov un circolo di topologi di cui facevano parte tra gli altri Andrej Nikolaevič Tichonov (1906-1993), Lazar Aronovič Ljusternik (1899-1981) e Šnirel′man, ai quali ben presto si unirono Kolmogorov e Lev Semenovič Pontrjagin (1908-1988). Aleksandrov si occupava in quegli anni di topologia combinatoria e Tichonov della teoria dei metrizzabili e degli spazi compatti, che erano stati introdotti da Uryson e Aleksandrov. Pontrjagin si impegnò all'elaborazione di una problematica originale tanto nel campo della topologia, quanto in quello della teoria topologica dei gruppi. Nel 1934 egli formulò una legge generale di dualità, alla quale si riferiscono anche i lavori di Kolmogorov degli anni Trenta. Ljusternik e Šnirel′man si dedicarono all'applicazione dei metodi topologici all'analisi; in particolare, nel 1929 essi risolsero completamente il problema di Poincaré sull'esistenza delle tre geodetiche chiuse sulle superfici di genere 0. L'importanza del contributo dei topologi moscoviti è sottolineata dal fatto che a Mosca si tenne nel 1935 la I Conferenza internazionale di topologia, alla quale parteciparono i maggiori specialisti dell'epoca.
Sulla base della teoria delle funzioni di variabile reale si sviluppò anche la scuola di Mosca di teoria delle probabilità, cui diede avvio un lavoro di Chinčin del 1923 sulla generalizzazione della legge dei grandi numeri. La legge da lui scoperta è nota oggi come legge del logaritmo iterato. Anche Kolmogorov effettuò ricerche sulla teoria delle probabilità; il suo primo lavoro, compiuto assieme a Chinčin, riguardava la convergenza delle serie di grandezze casuali reciprocamente indipendenti. Successivamente egli determinò le condizioni necessarie e sufficienti per l'applicabilità della legge dei grandi numeri ed estese i risultati di Chinčin sulla legge del logaritmo iterato. Questi lavori culminarono nella pubblicazione della monografia Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Concetti fondamentali di teoria delle probabilità, 1933) che includeva sia la teoria assiomatica della probabilità basata sulla teoria della misura, oggi generalmente accettata, sia i risultati fondamentali come il teorema di estensione che porta il suo nome. Questo lavoro contribuì in misura notevole a far sì che la teoria delle probabilità venisse definitivamente riconosciuta come disciplina matematica.
Nel 1931 lo stesso Kolmogorov aveva fornito la prima esposizione sistematica delle basi della teoria dei processi stocasticamente definiti senza retroazione, che segnarono l'inizio delle numerose ricerche di teoria dei processi casuali. In particolare, in questo contesto vanno ricordati i pionieristici lavori sui sistemi dinamici di Aleksandr Aleksandrovič Andronov (1901-1952) e di Pontrjagin nel campo della teoria delle oscillazioni, quelli di Kolmogorov sul moto browniano e di Chinčin riguardanti la teoria matematica della diffusione. All'inizio degli anni Trenta Chinčin si applicò allo studio di un'altra classe di processi stocastici, i processi stazionari. Cominciava così la storia della teoria delle probabilità della Scuola di Mosca, una delle più famose nella storia della matematica del XX secolo.
Sul terreno della teoria delle funzioni di variabile reale nacque anche l'interesse del gruppo di matematici moscoviti per la teoria dei numeri. Nel 1922 comparvero le prime pubblicazioni di Chinčin in questo campo. Nel 1925-1926 egli organizzò un seminario di teoria analitica dei numeri, cui presero parte attiva i giovani Gel′fond e Šnirel′man, che tra la fine degli anni Venti e l'inizio degli anni Trenta ottennero notevoli risultati nella teoria dei numeri trascendenti e nella teoria additiva dei numeri. Nel 1930 Šnirel′man dimostrò una forma debole della congettura di Goldbach, provando che ogni numero pari è somma di al più di S (=20) numeri primi, mentre il ciclo di lavori di Gel′fond di questo periodo si concluse con la sua risoluzione, nel 1934, del VII problema di Hilbert: αβ è un numero trascendente se α e β sono algebrici, α è diverso da 0 e 1 e β è irrazionale.
In quegli stessi anni Stepanov introdusse i metodi della teoria delle funzioni di variabile reale nella teoria delle funzioni quasi periodiche. A lui si devono anche risultati sostanziali nel campo della teoria qualitativa delle equazioni differenziali, di cui si occupò con successo Pontrjagin, che condusse le sue ricerche lavorando in stretto contatto con Andronov e la scuola di Gor′kij di teoria delle oscillazioni. Con la teoria qualitativa cominciò i suoi lavori, concernenti la teoria delle equazioni differenziali, Ivan Georgevič Petrovskij (1901-1973), anch'egli allievo di Egorov e Luzin, passato successivamente al campo delle equazioni alle derivate parziali.
I primi lavori di Petrovskij e Ljusternik relativi alle equazioni alle derivate parziali della fisica matematica risalivano agli anni 1926-1928, quando avevano applicato con successo il metodo delle differenze finite alla risoluzione del problema di Dirichlet. In seguito Petrovskij si dedicò alla teoria dei sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali e verso la metà degli anni Trenta ottenne una serie di risultati di prim'ordine, riguardanti l'analiticità delle soluzioni dei sistemi di equazioni di tipo ellittico, che rientrava tra le questioni sollevate nel XIX problema di Hilbert, il problema di Cauchy per i sistemi iperbolici e altri problemi. Nel calcolo delle variazioni, un campo nel quale avevano operato Egorov e alcuni suoi allievi, Ljusternik, fece tornare in auge i metodi diretti di Euler con il passaggio al limite dall'equazione a differenze finite alla corrispondente equazione differenziale.
La teoria delle funzioni e quella degli insiemi costituirono una base adeguata per la nascita a Mosca, tra la fine degli anni Venti e l'inizio degli anni Trenta, delle ricerche di analisi funzionale. Idee riguardanti l'analisi funzionale caratterizzano molti lavori di Ljusternik e a lui si possono ricondurre anche alcuni dei contributi di Kolmogorov alla teoria delle probabilità. Nel corso degli anni Trenta Abraham Ezechiel Plessner (1900-1961), emigrato nel 1932 dalla Germania, conferì alle ricerche sull'analisi funzionale di Mosca un carattere sistematico, ponendo le basi di una forte scuola di analisi funzionale. Sotto la diretta influenza di Kolmogorov e di Plessner si formò, alla fine degli anni Trenta, il talento di Israil Moiseevič Gel′fand. Con un brillante lavoro presentato nella sua dissertazione di dottorato nel 1938, Gel′fand mise a punto la teoria degli anelli commutativi normati, che avrebbe reso manifesti i profondi legami dell'analisi funzionale con la topologia e l'algebra.
L'algebra moderna era stata introdotta a Mosca nel 1920 da Šmidt, che aveva studiato a Kiev ed era uno specialista nel campo della teoria dei gruppi finiti. Nel 1922 ebbe inizio il seminario che egli aveva organizzato e nel lavoro s'inserirono Aleksandrov e, in seguito, l'allievo di questi Aleksandr Gennadevič Kuroš (1908-1971), il quale divenne il principale esponente della scuola moscovita di teoria dei gruppi e di algebra generale.
La fioritura delle ricerche originate dalla teoria delle funzioni di variabile reale non interruppe gli studi in settori tradizionali per Mosca, quali la geometria differenziale e la teoria delle superfici deformabili. Un nuovo indirizzo in geometria differenziale, fondato sui metodi dell'analisi tensoriale, venne sviluppato da Benjamin Fëdorovič Kagan (1869-1953), trasferitosi a Mosca da Odessa nel 1923. Nel 1927 egli organizzò un seminario di analisi vettoriale e tensoriale e sotto la sua guida vennero condotte ricerche sulla teoria degli spazi subproiettivi, sulla cosiddetta dualità metrica, sull'applicazione dei metodi dell'analisi tensoriale ai problemi della geometria affine e della geometria differenziale proiettiva, compresi i problemi di geometria differenziale classica. Testimonianza dei successi della geometria moscovita fu la Conferenza internazionale sull'analisi tensoriale tenutasi a Mosca nel 1934, cui presero parte i maggiori studiosi di geometria del mondo.
Così, nei primi anni Trenta, l'inusuale ampiezza dei campi di ricerca, l'attivismo creativo e il valore dei risultati raggiunti avevano fatto di Mosca uno dei maggiori centri della matematica mondiale.
Le repressioni ideologiche degli anni Trenta e l'inizio di una nuova fase
Tra la fine degli anni Venti e l'inizio degli anni Trenta l'atteggiamento verso i professori cominciò a cambiare in modo sostanziale. Il 'sabotaggio degli specialisti' divenne uno dei temi più popolari tanto sui giornali quanto sulle riviste. Inoltre, se fino ad allora il potere aveva tollerato una situazione nella quale le posizioni chiave erano occupate negli istituti scientifici da 'professori reazionari', ostili alla nuova ideologia, a condizione che si astenessero da attacchi diretti al regime, in seguito una tale situazione venne ritenuta intollerabile.
A Mosca si sviluppò una campagna diretta contro Egorov, che si concluse con il suo arresto, l'esilio a Kazan e la morte nel 1931. A San Pietroburgo (Leningrado), tra la fine degli anni Venti e l'inizio degli anni Trenta, operava attivamente la Società dei matematici materialisti, che si contrapponeva alla Società matematica della stessa città, dichiarando che l'attività della direzione di quest'ultima era ostile agli interessi del proletariato. Nel 1929 la Società dei matematici materialisti prese posizione contro la candidatura a membro effettivo dell'Accademia delle Scienze dell'Unione Sovietica del presidente della Società matematica di San Pietroburgo, sostenendo invece attivamente la candidatura dell'astro nascente della matematica sovietica, Ivan Matveevič Vinogradov (1891-1983). Questa contrapposizione si manifestò anche al I Congresso dei matematici dell'Unione Sovietica, che si tenne nel 1930 a Char′kov. La parte 'rivoluzionaria' del Congresso avanzò la proposta di inviare un telegramma di saluto al Congresso del partito, che si stava svolgendo in quello stesso momento. Sebbene la proposta venisse naturalmente approvata a schiacciante maggioranza, essa suscitò obiezioni da parte di una serie di partecipanti, tra i quali Egorov e Sergej Natanovič Bernštejn (1880-1968), il capogruppo della scuola di probabilità di San Pietroburgo.
Esito della lotta contro la cosiddetta 'egoroščina' a Mosca fu la riorganizzazione della direzione della locale Società matematica e della redazione del "Matematičeskij sbornik", in cui entrarono i professori 'rossi' e quei matematici della nuova generazione fedeli al nuovo regime. Un quadro simile si delineò anche a San Pietroburgo, dove il presidente della Società matematica dovette scrivere sui giornali alcune lettere in cui riconosceva i propri errori e prometteva di frequentare il circolo del materialismo dialettico allo scopo di sviluppare una visione del mondo marxista.
Il potere sovietico poteva ormai stare tranquillo: la comunità matematica era da quel momento in poi sotto il suo pieno controllo. Ciò apparve in modo evidente nel corso dell''affare dell'accademico Luzin', quando questi fu oggetto di una campagna di persecuzione politica cui presero parte anche i suoi allievi. Soltanto pochissimi, tra i quali Bernštejn, si permisero, se pur in forma molto cauta, di intervenire apertamente in sua difesa.
Il trasferimento a Mosca dell'Istituto di matematica V.A. Steklov
Dopo il trasferimento del governo sovietico a Mosca, nel 1918, a poco a poco la città divenne anche il centro della vita culturale del paese. Il processo di centralizzazione della vita matematica si concluse nel 1934 con il trasferimento da San Pietroburgo dell'Accademia delle Scienze dell'Unione Sovietica e dell'Istituto di matematica V.A. Steklov. Nella storia della scuola matematica di Mosca ebbe inizio una nuova fase: si realizzò la fusione delle due scuole guida del paese, rafforzata dall'arrivo dei matematici giunti da altri centri scientifici. Nella nuova istituzione furono superati sia il senso pratico e l'originale conservatorismo della Scuola di San Pietroburgo, sia una certa indeterminatezza che caratterizzava le ricerche filosofiche dei moscoviti. Si sviluppò un centro unico, quanto ad ampiezza di attività e concentrazione di talenti matematici. Si verificò quindi una sintesi tra la scuola pietroburghese di fisica matematica rappresentata da Sergej L′vovič Sobolev (1908-1989), la tradizione moscovita di geometria che si richiamava a Peterson e le ricerche di Petrovskij nel campo della teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali. La linea di sviluppo della teoria delle probabilità rappresentata da Bernštejn, che si ispirava alla tradizione di Čebyšev, s'incontrò con quella moscovita di Chinčin e Kolmogorov, cresciuta in seno alla teoria delle funzioni. Anche nello sviluppo della teoria dei numeri s'incontrarono due tendenze, quella di Čebyšev perseguita a San Pietroburgo da Vinogradov e la nuova tendenza moscovita coltivata da Chinčin, Gel′fond e Šnirel′man. Lo stesso accadde per le due linee di sviluppo delle ricerche algebriche, quella dell'antica capitale e quella moscovita di Šmidt e Kuroš.
In questo modo si creò un importante potenziale di ricerca, riunito intorno all'Istituto di matematica V.A. Steklov, alla facoltà di matematica e meccanica dell'Università di Mosca e alla Società matematica di Mosca. La capitale si trasformò nel centro trainante per la preparazione degli specialisti di matematica. Tra gli anni Trenta e gli anni Settanta Mosca fu sede di uno dei migliori e più prestigiosi istituti di studio del mondo nel campo della matematica pura e applicata, che coniugava un sistema di insegnamento esemplarmente impostato con la possibilità, per gli studenti, di lavorare fianco a fianco con i più illustri matematici nell'ambito dei seminari scientifici e di ricerca. Mosca non fu naturalmente l'unico centro matematico del paese, ma in forza di ragioni interne, di carattere oggettivo, tutte le iniziative risultavano collegate alla capitale, che controllava anche la principale attività editoriale, i contatti scientifici internazionali, il conferimento dei gradi accademici e la possibilità di ricevere titoli e onorificenze. Verso la metà degli anni Trenta furono così poste le basi della scuola matematica sovietica, una delle più influenti del XX secolo.
La Seconda guerra mondiale e il dopoguerra
L'entrata in guerra nel 1941 interruppe il normale sviluppo della vita scientifica nel paese. Molti dei principali centri d'istruzione e degli istituti scientifici furono evacuati dai territori delle operazioni militari o dalle regioni vicine al fronte, come Mosca, verso Est. L'Istituto di matematica V.A. Steklov fu trasferito a Kazan, la maggior parte dell'Università di Mosca ad Ashkhabad. La Società matematica di Mosca fu divisa in due parti ‒ la parte di Taškent (che si trasferì dapprima a Ashkhabad e, in seguito, a Sverdlovsk), e la parte di Kazan.
Alcuni giovani scienziati erano al fronte, la normale attività di pubblicazione si interruppe, anche se non cessò completamente. Ci fu un aspetto positivo in questo movimento di scienziati e istituzioni che andava contro il normale sviluppo del lavoro: la geografia delle ricerche scientifiche (e in particolare, di quelle matematiche) dell'Unione Sovietica si espanse considerevolmente. Nuovi centri matematici apparvero a est della parte europea del paese, in Siberia, nelle repubbliche dell'Asia Centrale e Transcaucasica, per esempio a Alm-Ata e a Baku.
Lo svilupppo della matematica negli anni del dopoguerra fu molto rapido. Era la realizzazione del potenziale accumulato negli anni Trenta dai matematici sovietici, e in primo luogo dai matematici moscoviti. A Mosca avevano sede le principali case editrici e si pubblicava la maggior parte delle più importanti riviste matematiche, come "Matematičeskij sbornik", "Uspechi matematičeskich nauk" e le pubblicazioni dell'Accademia delle Scienze.
Dalla fine degli anni Trenta lo sviluppo della matematica nell'Unione Sovietica era stato in larga misura autonomo: le relazioni internazionali cominciarono a cessare alla vigilia della guerra, quasi si arrestarono ‒ com'era naturale ‒ durante la guerra e, con grande sorpresa, praticamente non vennero riprese a guerra conclusa. Cominciò infatti una nuova guerra, la 'guerra fredda'. Certo, questo isolamento non era totale ‒ a Mosca si potevano trovare alcune tra le principali riviste scientifiche (per es., quelle pubblicate dalle più autorevoli accademie del mondo), ed era possibile trovare alcuni periodici sovietici, per esempio "Doklady Akademii nauk SSSR", nelle biblioteche occidentali. Continuò anche una corrispondenza irregolare tra matematici sovietici e occidentali.
Dopo la morte di Stalin, quando cominciò l'epoca del 'disgelo' si scoprì che la matematica sovietica cresciuta dietro la 'cortina di ferro' rappresentava una delle parti più importanti del mondo matematico moderno. Tutto ciò si manifestò con grande evidenza al Congresso internazionale dei matematici che si svolse a Mosca nel 1966 e annoverò il maggior numero di partecipanti tra i congressi del XX secolo. Gli scienziati sovietici ottennero notevoli risultati praticamente in ogni branca della matematica. I contributi più significativi vennero dai matematici moscoviti. In generale, i loro risultati si riallacciavano alle tematiche elaborate all'inizio del XX sec. dai matematici della prima generazione della scuola di Egorov e Luzin, e sviluppate poi dai loro allievi. I moscoviti d'altra parte risposero favorevolmente ai cambiamenti che erano avvenuti all'estero durante il periodo del loro forzato isolamento, e in particolare alle novità che venivano dall'Occidente. Molti dei più autorevoli matematici sovietici si erano formati a Mosca come studenti o vi erano giunti per il dottorato, di modo che Mosca finì per esercitare un'influenza decisiva sulla formazione di scuole matematiche anche in altre città dell'Unione Sovietica, come Taškent o Novosibirsk che, negli anni Sessanta, divenne un fiorente centro di ricerca.