lacuna

lacuna

lacuna in una successione di numeri naturali, intervallo nel quale non cadono interi della successione. Insiemi lacunari di numeri interi intervengono in diverse questioni relative alle serie. Le serie di potenze lacunari sono particolari serie in cui solo pochi coefficienti a_n sono diversi da zero e la loro densità diventa sempre più piccola con legge assegnata. In tali casi si presentano fenomeni come la presenza di barriere naturali, oltre le quali la funzione analitica che è somma della serie non si può prolungare con il metodo di Weierstrass (→ funzione analitica). Per esempio, la serie

è riscritta come

in cui sono diversi da zero solo i coefficienti dei termini con esponente n!; essa ha raggio di convergenza 1, e la sua somma ƒ(z) non può essere prolungata al di fuori del cerchio di convergenza, essendo tutti i punti della circonferenza punti singolari per ƒ(z). Una serie di Fourier

in cui i coefficienti non nulli corrispondono a valori n_k per cui n_k+1/n_k ≥ λ > 1 gode delle seguenti proprietà:

• se la serie è associata a una funzione continua allora

converge;

• se la serie è associata a una funzione ƒ(x) ∈ L¹, allora ƒ(x) è in L^p per ogni 1 < p < ∞.