lagrangiana

lagrangiana

lagrangiana o funzione di Lagrange, in meccanica analitica, è una funzione che descrive le caratteristiche dinamiche di un certo sistema fisico. La lagrangiana è funzione delle coordinate, delle loro derivate rispetto al tempo e del tempo ed è espressa come la differenza tra l’energia cinetica e l’energia potenziale:

dove le q sono le coordinate lagrangiane del sistema (qui genericamente indicate con q, sottintendendo che si tratta di q_i, con i = 1, …, n; la derivata temporale è indicata dal punto al di sopra della lettera che la denota; → Lagrange, coordinate di). Tramite la funzione lagrangiana si definisce l’azione, una quantità scalare che ha le dimensioni di un’energia per un tempo, come funzionale della traiettoria:

dove l’integrale è esteso alla traiettoria del sistema, ovvero l’evoluzione delle coordinate attraverso lo spazio delle configurazioni. Tra tutte le possibili traiettorie, quella effettivamente seguita dal sistema è tale da rendere stazionario il funzionale dell’azione. La condizione di stazionarietà dell’azione implica che la traiettoria soddisfi le equazioni di → Eulero-Lagrange dell’azione:

dove la quantità

è detta momento coniugato della coordinata q_i. Si dimostra che queste equazioni del moto sono equivalenti alle equazioni della dinamica di Newton, rispetto alle quali esse hanno tuttavia il vantaggio di essere invarianti per cambiamenti di coordinate. La descrizione dinamica di un sistema è invariante se alla lagrangiana si aggiunge la derivata di una qualunque funzione differenziabile delle coordinate e del tempo. Una coordinata che non appaia esplicitamente nella lagrangiana è detta ciclica; si dimostra che il sistema è simmetrico rispetto a variazioni di una coordinata ciclica e che inoltre il momento coniugato di una coordinata ciclica è una quantità conservata. Per esempio, in un sistema unidimensionale costituito da una particella libera (non soggetta a un potenziale esterno), la lagrangiana assume la forma

(poiché il potenziale è nullo, nella lagrangiana c’è solo il termine cinetico); la variabile x è ciclica e infatti un tale sistema è invariante per traslazione; inoltre, il momento coniugato di x è mẋ cioè la quantità di moto, che è una grandezza che si conserva in assenza di potenziale esterno. Il formalismo lagrangiano consente un’efficace descrizione di sistemi soggetti a vincoli (per esempio, un punto materiale vincolato a muoversi lungo una curva o su una superficie) scegliendo opportune coordinate lagrangiane che tengano conto dei vincoli e cerchino gli estremi vincolati del funzionale d’azione; tale formalismo trova inoltre vaste applicazioni nella teoria dei campi. Infine, la conoscenza della lagrangiana di un sistema consente facilmente di scriverne la funzione hamiltoniana, in quanto quest’ultima si può ottenere dalla lagrangiana mediante una trasformazione di → Legendre. Alla descrizione lagrangiana di un sistema dinamico vincolato si può anche pervenire partendo dalle equazioni dinamiche di Newton scritte tenendo conto delle forze esplicate dai vincoli e trasformando le coordinate cartesiane in coordinate lagrangiane che tengano conto dei vincoli stessi.