legge di Mersenne
legge di Mersenne
Formula che compendia le relazioni tra i vari parametri di una corda a estremi fissi, la cui descrizione viene di norma associata al nome del fisico e musicologo francese (benché anche altri scienziati del tempo, tra cui Galileo Galilei, le abbiano indipendentemente enunciate). Tali relazioni descrivono la frequenza f del tono fondamentale di una corda come: inversamente proporzionale alla lunghezza della corda L; direttamente proporzionale alla radice quadrata della tensione τ cui la corda è soggetta; inversamente proporzionale alla radice della massa relativa alla lunghezza unitaria della corda, vale a dire alla densità lineare μ (la quale dipende dalla sezione S della corda e dalla densità ϱ materiale costituente, μ=ϱ/S). Esse si riassumono nell’equazione:
Poiché, a causa del vincolo imposto dagli estremi fissi, la lunghezza d’onda λ del tono fondamentale – l’onda stazionaria della massima possibile lunghezza – deve essere eguale al doppio della lunghezza della corda (λ=2L) e ricordando che la frequenza f è calcolabile come rapporto tra la velocità v del suono sulla corda e la lunghezza d’onda λ, dall’equazione scritta si ricava subito che la velocità del suono sulla corda è data da
che coincide con quella ricavabile dall’equazione di d’Alembert per il moto di un’onda su una corda di trascurabile rigidità. La legge di Mersenne interviene nella fabbricazione della corda quanto a lunghezza e densità (minore è la lunghezza o la densità, maggiore è l’altezza della nota). Interviene, invece, nell’accordatura attraverso la regolazione della tensione – stabilendo la frequenza del tono fondamentale della corda ‘a vuoto’ – ma anche attraverso la lunghezza, grazie alla possibilità di diteggiatura lungo la tastiera. Essa può essere verificata con un semplice esperimento in cui un certo numero di corde di differenti densità μ legate a un’estremità lungo un piano orizzontale tengono di volta in volta appeso un secchio di sabbia mediante una carrucola. La tensione τ viene variata riempiendo gradualmente il secchiello e pesandolo (la tensione è una forza, come il peso) e la lunghezza può essere alterata tramite un ponticello mobile che colloca in posizioni diverse il secondo estremo della corda. La frequenza della nota emessa pizzicando il lato sinistro della corda viene stabilita eliminando i battimenti rispetto ad altra frequenza di riferimento. Fu presumibilmente con un dispositivo del genere che Vincenzo Galilei, padre di Galileo, smentì l’antica credenza pitagorica che la dipendenza della frequenza dalla tensione fosse di diretta proporzionalità. Con mezzi moderni, il secchiello può essere sostituito da un dinamometro.