limite

limite

lìmite [Der del lat. limes -mitis] [LSF] Confine, termine, elemento di separazione; si specializza, in senso astratto, come il confine ideale al di sopra o al di sotto del quale si verifica un determinato fenomeno; come tale un l. può essere spaziale, temporale, qualitativo, quantitativo, o più di una di queste specie, e il suo superamento ha per effetto un mutamento di condizioni. ◆ [ALG] [ANM] Nozione, di importanza fondamentale, sorta dall'esigenza di caratterizzare in termini logici rigorosi la tendenza di una grandezza variabile ad assumere un determinato valore. L'idea del l. ricorre per la prima volta presso i geometri greci, da Eudosso (metodo di esaustione) a Euclide e Archimede (calcolo di lunghezze, aree, volumi di figure geometriche); fu poi ripresa e utilizzata sistematicamente da I. Newton e G.W. Leibniz, ideatori del calcolo infinitesimale, e successiv. sistemata in forma logica precisa nel sec. 19° da B. Bolzano e da L.A. Cauchy, assumendo poi (e il processo non può ritenersi concluso) un significato via via più ampio e generale. Per le locuz. non ricordate qui di seguito, si rinvia alla voce di qualificazione. ◆ [PRB] L. centrale: v. LIMITE CENTRALE, TEOREMA DEL. ◆ [MCS] L. cinetico e di campo medio: v. TERMALIZZAZIONE: VI 138 f. ◆ [PRB] L. debole: limite nel senso della topologia debole: v. DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ INFINITAMENTE DIVISIBILI: II 222 f. ◆ [ANM] L. destro e sinistro: v. oltre: L. di una funzione di variabile reale. ◆ [FME] L. di dose: valore massimo dell'equivalente di dose di radiazioni per il singolo individuo cui, per norma, ci si deve attenere per le categorie di lavoratori esposte: v. FISICA SANITARIA: II 623 b. Per i valori di massima raccomandati: v. RADIAZIONI IONIZZANTI, TERAPIA CON: IV 671 Tab. 4.1. ◆ [FME] L. di dose derivati, primari e secondari: v. FISICA SANITARIA: II 624 f. ◆ [FME] L. di dose: v. RADIAZIONI IONIZZANTI, PROTEZIONE DALLE: IV 671 b. ◆ [ANM] L. di una funzione di una variabile reale: si dice che una funzione reale f(x) di una variabile reale x tende al l. finito l per x tendente a un valore x₀ (che può anche essere un punto in cui la f(x) non è definita) se, prefissato un numero reale ε>0 comunque piccolo, esiste in corrispondenza un numero reale δ>0 tale che, per ogni valore della x (escluso al più x₀) soddisfacente alla limitazione |x-x₀|<δ, si abbia |f(x)-l|<ε; si scrive limx→x⁰f(x)=l. Analogamente, si dice che, per x tendente a x₀, il l. di f(x) è uguale a +∞ (in simboli: limx→x⁰f(x)=+∞) se, per ogni numero H>0, comunque grande, esiste un numero reale δ>0, tale che, per ogni x€x₀ soddisfacente alla relazione |x-x₀|<δ, si abbia f(x)>H; definizione analoga si dà per il limite -∞, richiedendo che sia -f(x)>H. Quando l'insieme di definizione della funzione f non è limitato superiormente o inferiormente si dice, in analogia con il l. delle successioni (v. oltre), che per x→+∞, f(x) tende a l (e si scrive limx→∞f(x)=l), se per ogni numero reale positivo ε esiste un numero reale m>0 tale che per ogni x>m si abbia |f(x)-l|<ε; si dice che, per x→+∞, f(x) tende a +∞ (e si scrive limx→∞f(x)= +∞), se per ogni numero reale positivo H esiste un numero reale h>0, tale che per ogni x>h si abbia f(x)>H. Nelle figg. da 1 a 3 sono rappresentati, a titolo d'esempio, i diagrammi di tre funzioni corrispondenti ai casi considerati. Può accadere che il valore della funzione nel punto x₀ non sia definito e, anche, che, se esso esiste, non coincida con limx→x⁰f(x); se invece la funzione f(x) è definita per x=x₀e se limx→x⁰f(x)=f(x₀), la funzione è continua in x₀. Se poi nella definizione di l. per una funzione f(x), si prendono in considerazione i soli valori di x maggiori (o rispettiv. minori) di x₀, si dirà che la funzione ammette l. destro (o rispettiv. l. sinistro) in x₀; se i l. destro e sinistro esistono e sono entrambi uguali a l, allora l è il l. nel senso ordinario sopra definito; i due l. possono però esistere ed essere diversi, dando luogo a un salto, o discontinuità di prima specie (come nel caso di una funzione a gradini); per indicare il l. sinistro oppure destro di f(x) per x tendente a x₀ si usano, rispettiv., le scritture limx→x⁰-f(x) e limx→x⁰+ f(x); nelle figg. 5 e 6 sono dati alcuni esempi. Generalizzando, si può introdurre il concetto di l. per funzioni su spazi astratti, purché si assegni in qualche modo una nozione di distanza, nel senso astratto della parola, o una nozione equivalente. Ancora più in generale s'introduce, in vari modi, il concetto di l. nella topologia, sia quando si consideri una corrispondenza (o funzione) tra due spazi topologici, sia quando si consideri un insieme variabile in una famiglia di sottoinsiemi dello spazio topologico ambiente. ◆ [ANM] L. di una serie, o somma di una serie: concetto riconducibile a quello di l. di una successione (v. oltre); infatti, data la serie Σii==∞₀ ai, si può sempre costruire una successione il cui n-esimo termine sia Σii==n₀ ai; se essa ammette un l., è questo il l. della serie in questione. ◆ [ANM] L. di una successione: data una successione a₁, a₂,..., an,... di numeri reali, si dice che an, per n tendente all'infinito, tende al l. determinato e finito l e si scrive limn→∞an=l, se, prefissato un numero ε positivo comunque piccolo, a esso corrisponde un intero p tale che, per ogni n>p, la differenza an-l sia in valore assoluto minore di ε; per es., la successione 1, 1/2, 1/3,...,1/n,... tende a 0 per n tendente all'infinito. Va precisato che esistono successioni, come, per es., la successione -1, 2, -3, ..., -(2n-1), 2n, ... che non tendono ad alcun limite. Si dimostra che la condizione necessaria e sufficiente affinché la successione a₁,..., an,... ammetta un l. finito per n→∞ è che fissato un ε positivo comunque piccolo esista in corrispondenza di esso un intero p tale che si abbia |am-an|<ε per n e m entrambi maggiori di p (criterio di Cauchy); si dirà poi che an tende a +∞ (oppure a -∞) per n→∞, se, prefissato un numero H positivo comunque grande, esista in corrispondenza di esso un intero p tale che, per n>p, sia an>H (oppure an<-H); si scrive in tal caso limn→∞an=+∞ (oppure -∞). ◆ [ANM] L. fondamentali: nella tab. sono riportati alcuni l. partic. importanti o utili nei calcoli; per i limiti di somma, prodotto e quoziente di f(x) e g(x) si sottintende che esistano finiti limx→x⁰ f(x) e limx→x⁰g(x). ◆ [MCS] L. idrodinamico: v. TERMALIZZAZIONE: VI 137 d. ◆ [ANM] L. inferiore e superiore: lo stesso che estremo inferiore e superiore (→ ESTREMO). ◆ [PRB] L. in probabilità: locuz. che si usa quando al tendere della variabile indipendente a un certo valore x₀ una determinata condizione tende a realizzarsi con probabilità tendente a 1. ◆ [ANM] L. per una funzione complessa w(z) di una variabile complessa z: ha una definizione sostanzialmente identica al caso del l. di una funzione reale di una variabile reale, salvo a sostituire il valore assoluto con il modulo (enti che del resto s'indicano con lo stesso simbolo) e a tenere presente che per una variabile complessa non esiste un solo modo per tendere all'infinito; si dice che limz→z⁰w=l se, fissato comunque un numero reale ε>0, esiste in corrispondenza un numero reale δ>0 tale che per ogni z€z₀ tale che |z-z₀|<δ si abbia |w(z)-l|<ε. ◆ [ANM] L. per una funzione reale di n variabili reali: data la funzione f(P)= f(x₁,x₂,...,xn) del punto P di coordinate (x₁,x₂,...,xn), definita in un insieme A dello spazio euclideo En a n dimensioni e dato un punto P₀, di coordinate (x₁0,x₂0,...,xn0), che sia punto di accumulazione di A, si dice che, per P→P₀, f(P) tende a l, se per ogni numero reale ε>0 è possibile determinare un numero reale positivo δ tale che, per ogni P€P₀, appartenente ad A e con distanza da P₀minore di δ, si abbia |f(P)-l|<ε. Tale tendenza al l. si indica con il simb. limP→P⁰f(P), o analogo. Se accade che per un punto P₀ di A si abbia limP→P⁰f(P)=f(P₀) la funzione si dice continua in P₀; se ciò accade per tutti i punti di A si dice che la funzione è continua in A. ◆ [ANM] L. ripetuti: considerata la funzione di due variabili z=f(x,y), sono i l. del tipo A=limy→b (limx→az), B=limx→a (limy→bz). Non sempre risulta A=B, anche perché può accadere che esista A e non esista B (o viceversa). Tuttavia in molti casi si ha A=B; per es., se, quando il punto P(x,y) tende a P₀(a,b) la funzione tende al l. L, si ha senz'altro A=B=L. ◆ [ANM] L. sinistro: v. sopra: L. di una funzione di variabile reale. ◆ [MCS] L. termodinamico: studio delle proprietà statistiche di un sistema di particelle nel l. in cui gli si lascia occupare tutto lo spazio mantenendo fisse due variabili (o più nei sistemi non monomolecolari o con gradi di libertà interni) atte a determinare lo stato di equilibrio termodinamico del sistema (per es., la densità numerica e la temperatura): v. LIMITI TERMODINAMICI. ◆ [OTT] Angolo l.: nel passaggio di un raggio di radiazione ottica da un mezzo a un altro mezzo meno denso, l'angolo di incidenza sulla superficie di separazione superato il quale il raggio non è più trasmesso, essendo riflesso internamente nel primo mezzo: v. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE DELLA LUCE: V 9 f. ◆ [ANM] Massimo l.: per una funzione reale di punto f(P), si chiamano minimo e massimo l. della f(P), quando P tende a un punto di accumulazione P₀, le due quantità, eventualmente infinite, l' e l'', tali che, comunque si fissi un numero reale positivo ε, esista un numero δ tale che, per ogni P per il quale P-P₀<δ, accada che l'-ε<f (P)<l''+ε ed esista in ogni intorno di P₀ un punto P₁✄ per il quale accada che f(P₁✄)<l'+ε e un punto P₂✄ per il quale f(P₂✄)>l''-ε; i numeri trovati si denotano con uno dei seguenti simboli minlimP→P⁰f(P), maxlimP→P⁰f(P); lim'P→P⁰f(P), lim''P→P⁰f(P), o con notazioni analoghe. Se l'=l''=l, la funzione ammette l. uguale a l per P→P₀, (e viceversa); essa si dice regolare in P₀ e precis. convergente oppure divergente a seconda che l sia finito oppure no. ◆ [FSD] Metodo dei l. assoluti: v. COMPOSITI, MATERIALI: I 671 f. ◆ [ANM] Minimo l.: v. sopra: Massimo limite. ◆ [FME] Principio dei l. di dose individuale: v. RADIOPROTEZIONE: IV 722 d. ◆ [ANM] Principio generale della teoria dei l.: afferma che se la funzione f(u, v,...) è continua nel punto (u₀, v₀,...) e se accade che limx→x⁰u(x)=u₀, limx→x⁰v(x)=v₀,..., la funzione F(x)=f(u(x),v(x),...) ammette l. per x→x₀ed è: limx→x⁰F(x)=f(u₀,v₀,...). Tale principio serve per ridurre il calcolo del l. di una funzione a quello di funzioni più semplici. Sono casi particolari del principio le regole di continuo uso che consentono di trasformare il l. di una somma nella somma dei l., del l. di un prodotto nel prodotto dei l., del l. di un quoziente nel quoziente dei l., in quest'ultimo caso con la condizione che la funzione contenuta a denominatore sia diversa da zero. Il principio non è applicabile quando conduce a forme indeterminate. ◆ [ALG] Punti l.: (a) in una proiettività tra due rette punteggiate, i punti che corrispondono ai punti all'infinito delle due rette; (b) con altro signif., punto l. è sinon. di punto di accumulazione (→ ACCUMULAZIONE). ◆ [ALG] Rette l.: in un'omografia tra due piani, sono le rette che corrispondono alle rette all'infinito. ◆ [PRB] Teorema (integrale e locale) del l. centrale: v. LIMITE CENTRALE, TEOREMA DEL. ◆ [PRB] Teorema del l. completo: v. DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ INFINITAMENTE DIVISIBILI, TEORIA DELLE: II 224 b.