LIVELLAZIONE

LIVELLAZIONE

. Si suole indicare con la parola livellazione il complesso di procedimenti di geodesia operativa atti a determinare l'altezza dei punti della superficie fisica della Terra sul geoide (superficie di livello del campo della gravità passante per lo zero di un dato mareografo), o, in senso più lato, la differenza di tali altezze per due o più punti (v. geodesia). Per altezza di un punto P sul geoide, o, come si suol dire, sul livello del mare, s'intende il segmento della linea di forza del campo della gravità passante per P, intercetto tra il punto medesimo e il geoide, o, più semplicemente, trascurando, come è lecito, la curvatura delle linee di forza, la distanza del punto P dalla superficie geoidica misurata secondo la direzione della verticale nel punto medesimo, direzione che, nello stesso ordine di approssimazione, può esser considerata normale alla superficie. La livellazione praticamente si compie secondo schemi molto semplici soddisfacenti in genere a tutte le esigenze tecniche; ma sotto l'aspetto teorico, ove se ne voglia vedere il significato e la portata nell'insieme dei mezzi operativi di cui si dispone per risolvere il problema generale della geodesia, presenta punti di vista di notevole interesse e questioni complesse e non facili. Si sogliono distinguere tre metodi di livellazione: geometrico, trigonometrico (o geodetico), barometrico, i quali si differenziano sia per quanto riguarda procedimenti e mezzi strumentali, sia per la natura delle grandezze rilevate. Dei tre metodi l'ultimo è di gran lunga inferiore agli altri due per importanza e larghezza di applicazione.

Livellazionre geometrica. - Lo schema della livellazione geometrica, quale comunemente viene praticata, è estremamente semplice. Su due punti del terreno A, B, la cui distanza non superi i 140-160 m., si dispongano (fig.1), secondo la verticale, due aste divise in cm. (stadie) e in altro punto del terreno, presso a poco da essi equidistante, sia uno strumento (livello) atto a dare una linea di collimazione (di un cannocchiale) orizzontale. La differenza Δh = h_i - h_a tra i segmenti segati dalla linea di collimazione L_aL_b su tali aste a partire dal punto a terra (letture alla stadia fatte stimando la posizione del filo orizzontale del micrometro rispetto all'immagine della graduazione, comunemente dette battute indietro h_i e in avanti h_a) dà manifestamente la differenza tra le distanze dei due punti dalle superficie di livello per il centro C dello strumento, nell'ipotesi, praticamente accettabile, che i due segmenti L_aM_a e L_b M_b siano uguali, che cioè la curvatura della superficie di livello e la rifrazione influiscano in ugual misura sulle due battute. Ove si ritengano, come si usa, le superficie di livello M_aM_b, A′B, AB′ tra loro parallele, Δh dà anche l'altezza di B sulla superficie di livello per A: la differenza cioè di altezza, o di livello, o di quota, tra i due punti. Quando la distanza tra i punti di cui deve essere determinata la differenza di livello supera i limiti sopra accennati, si ricorre a punti intermedî opportunamente intercalati, in modo che la differenza di quota tra due suecessivi di essi possa esser misurata con una sola stazione del livello: la differenza di quota tra i due punti estremi sarà la somma algebrica delle successive differenze trovate e pertanto data dalla differenza

tra la somma delle battute in dietro e la somma delle battute in avanti (fig. 2). Un siffatto procedimento, detto livellazione longitudinale, è usato in livellazione di assi di strade, di canali, e, secondo una rete di percorsi debitamente scelti, in tutti i lavori di interesse tecnico. Se le operazioni hanno per scopo di dare l'altezza dei punti sul livello del mare, il punto iniziale deve essere collegato allo zero del mareografo fondamentale della rete.

I livelli permettono, con dispositivi variabili da tipo a tipo e suscettibili delle necessarie verifiche, di rendere la linea di collimazione di un cannocchiale parallela alla linea di fede di una livella torica a bolla d'aria: pertanto le loro fondamentali caratteristiche, a parità di solidità di costruzione e sicurezza di collegamento tra bolla e cannocchiale, sono ingrandimento e chiarezza di quest'ultimo e valore della parte della prima. A seconda della finezza dell'apparato gl'ingrandimenti variano tra 15-20 e 35-40, e il valore della parte da 15″-20″ a 5″. Il procedimento cui si è accennato, detto di livellazione dal mezzo, elimina manifestamente nella differenza delle letture l'influenza di eventuali errori residui che inclinino la linea di collimazione, purché tale inclinazione non varî da battuta a battuta nella stessa stazione. La precisione dei risultati è dunque condizionata ai limiti del potere separatore del cannocchiale con cui si effettuano le letture alla stadia, e a quelli della sensibilità della livella, entro cui può esser sicura la posizione della linea di collimazione; poiché l'una e l'altra di queste cause di errore agiscono proporzionalmente alla distanza, e, d'altra parte, poichè, nella schematica ipotesi di distanze di battute tutte uguali, il numero delle stazioni necessarie vale il rapporto tra lunghezza della linea livellata e distanza di battuta, è agevole dedurre, dalla legge di propagazione degli errori, che l'errore accidentale di una differenza di livello è proporzionale alla radice quadrata della lunghezza della linea livellata e a quella della distanza di battuta. Pertanto i pesi di differenze di livello tra due punti, ottenute per vie diverse, risultano inversamente proporzionali alla lunghezza delle vie seguite: il che è fondamentale per la compensazione delle reti di livellazione. In pratica la livellazione tra due punti si esegue sempre due volte, possibilmente in condizioni diverse, per eliminare influenze di carattere sistematico, iniziando una volta da uno e una volta dall'altro estremo, o come suol dirsi, in andata e in ritorno. È allora possibile, in base a formule note della teoria degli errori, dedurre una espressione a posteriori dell'errore medio chilometrico in funzione delle differenze δ (espresse in mm.) tra i due valori del dislivello di due successivi capisaldi (distanti s km.) ottenuti in andata e in ritorno. Risulta per la media dei due valori

ove n è il numero dei tratti da un caposaldo all'altro.

Livellazione di precisione. quota dinamica. altitudine ortometrica. - L'Associazione geodetica internazionale stabilì di chiamare di precisione le livellazioni per cui l'error medio chilometrico, calcolato con la formula sopra riportata, risulti 〈 5 mm. in terreni di montagna e 〈 3 mm. in terreni comuni, e di alta precisione quelle per cui tale errore medio risulti ≤ 1,5 mm. Gli apparati moderni permettono agevolmente di raggiungere i limiti di errore delle livellazioni di alta precisione. Ogni stato civile ha disteso nel suo territorio una rete di livellazione di precisione che stabilisce un numero cospicuo di capisaldi utilizzabili per ulteriori determinazioni di quote. In Italia a tale rete hanno provveduto la R. Commissione geodetica e il R. Istituto geografico militare.

Se non che per la livellazione di precisione non è più sufficiente lo schema semplice cui sopra abbiamo accennato, perché se l'assegnata formula

praticamente, come risultato numerico, in generale risponde a tutte le esigenze tecniche, dal punto di vista teorico non solo non dà la ricercata distanza del punto B dalla superficie di livello per A, ma difetta di ogni fondamento perché

non è neppure una grandezza univocamente determinata e varia al variare della via che si segue per effettuare la livellazione. Invero è noto che due superficie di livello del campo della gravità W = W_i, W = W₂ non sono parallele: detti g_i e H_i il valore della gravità e il segmento di normale alla W = W₁ compreso tra le due superficie di livello in corrispondenza di un generico punto P₁ della W = W₁, sarà g_iH_i; = W₂ − W₁. Passando da un punto P_i a un punto P_j varia g_i e varia quindi H_i, in modo che sia g_iH_i; = g_j H_j. Le superficie equipotenziali non sono quindi superficie di uguale altezza. Se, ad es., assumiamo come legge di variazione della gravità sul geoide quella normale di Helmert rappresentata da g = g₄₅ (i − β cos ϕ) con β − 0,00264, si vede che una superficie di livello, che a 45° di latitudine passa a 100 m. s. m., al polo trovasi a m. 99,736 e all'equatore a m. 100,264 sopra lo stesso livello.

Discende di qui la non univocità di

che si dimostra agevolmente ricorrendo al seguente schema limite. La differenza di livello tra due punti A, B (fig. 3), essendo AB′ e A′B le superficie di livello, può esser determinata secondo le due vie AB′B o AA′B, due cammini limiti cui, in pratica, ci si può in certi casi in qualche modo avvicinare. Poiché ΣΔh lungo una superficie di livello risulta nulla, la differenza di livello ottenuta per la prima via risulterà B′B e quella per la seconda via AA′. Le due vie dànno quindi per ΣΔh valori diversi, e se una di esse fosse seguita in andata e l'altra in ritorno, si avrebbe per il poligono di livellazione un errore teorico di chiusura che nulla avrebbe a che fare con gli errori di osservazione: tale errore può, per linee molto lunghe, contenenti tratti ad altezze tra loro molto diverse (sul tipo, ad es., delle linee congiungenti le coste mediterranee a quelle nordiche), assumere valori dell'ordine di qualche diecina di cm. Univocamente determinato invece dai due punti è il valore di

in cui g_m è il valore della gravità nel punto intermedio m^o, poiché esso rappresenta il lavoro compiuto dalla gravità per portare la massa unitaria da A a B. Ove si dividano ambo i membri per un valore costante della gravità, ad es. g₄₅, si ha una relazione

in cui i due membri hanno le dimensioni di una lunghezza: sarà pertanto giustificato chiamare, come si suole, il valore comune dei due membri quota dinamica di B rispetto ad A. A porre in luce la relazione tra tale quota e quella bruta data dalla

si ponga nella precedente g = g₄₅ + (g − g₄₅); se ne deduce

in cui l'ultimo termine del secondo membro rappresenta la correzione da attribuirsi a ΣΔh per avere la quota dinamica, e si chiama appunto correzione dinamica.

Il ealcolo di tale correzione richiede la conoscenza della gravità in ogni caposaldo: in mancanza di questa si possono usare i valori normali della gravità quali risultano dalla sopra citata formula di Helmert, tenendo conto del tennine di altezza − γH, con γ = 2/R, dove R è un valor medio del raggio di curvatura terrestre, mentre H è l'altezza sul livello del mare talché Δh = ΔH. In questa ipotesi risulta g − g₄₅ = g₄₅ (− β cos 2 ϕ − γH), sì che la correzione dinamica vale

Per un poligono chiuso per cui H_B = H_A la correzione si riduce a

detto anche errore di chiusura dinamico.

Se dal punto di vista meccanico interessa la quota dinamica, dal punto di vista geometrico interessa la vera altezza sopra definita (altitudine ortometrica), la distanza cioè del punto B dalla superficie di livello per A, misurata secondo la verticale di B. A trovare la correzione, detta appunto ortometrica, da applicarsi al risultato bruto

per ottenere quest'ultima si può ragionare come segue: riferendoci al significato delle lettere nella fig. 4, il risultato bruto è la somma Δh₁ + Δh₂ + ... + Δh_m + ... delle distanze Δh_m tra le successive superficie di livello per i punti 1, 2, ..., m, ..., mentre l'altezza BB′. risulta somma dei termini Δ′h₁ + Δ′h₂+ ... + Δ′h_m + ... Tra le Δh_m e le Δ′h_m detti g_m e g′_m i valori della gravità nel punto m e in quello m′ in cui la stessa superficie di livello è segata dalla BB′, passa la relazione g_mΔh_m = g′_mΔ′h_m ed è quindi:

Il calcolo pertanto dell'altezza ortometrica richiede la conoscenza della gravità non solo nei capisaldi, ma anche in punti interni alla crosta, nè è qui possibile dar conto delle ricerche istituite per risolvere le difficoltà che nascono da tale esigenza, in maniera che i risultati non abbiano a essere troppo discosti dal vero. A dare i lineamenti fondamentali della teoria assumeremo ancora come legge di variazione della grav; tà quella di Helmert, trascurando nell'espressione del rapporto g_m/g′_m i termini di altezza. In tale ipotesi, detta ϕ la latitudine di un punto generico e ϕ_B quella del punto B, risulta g_m/g′_m = 1 − β cos 2 ϕ + β cos 2 ϕ_B e quindi

Il secondo termine, se si sostituisce alla sommatoria un integrale esteso a tutto il percorso s da A a B, si può trasformare con un'integrazione per parti che dà

sì che, a meno di un termine in β (ϕ_B - ϕ_A), risulta

La correzione da attribuirsi all'altezza bruta vale dunque

ed è quindi, per ogni tratto, grosso modo proporzionale all'altezza del caposaldo iniziale e alla differenza di latitudine tra gli estremi (Lallemand). A dare un'idea degli ordini di grandezza e quindi dell'importanza pratica della correzione ortometrica diremo che, ad es., nella nostra rete di livellazione di precisione, la linea Parma-Sarzana, lunga km. 119 e traversante l'Appennino, ha una correzione di mm. 23,5, e similmente il tratto Spezzano-Auletta, lungo km. 168, una correzione di − 39,5 mm., mentre il tratto Ferrara-Ravenna, lungo km. 100, ha una correzione di 0,02 mm. Per la livellazione tra il mareografo di Genova e il mareografo di Amsterdam (km. 1408) la correzione ortometrica sale a + 227 mm.

Livellazione trigonometrica. - La livellazione trigonometrica si propone di determinare la differenza di altezza tra due punti A e B della superficie fisica della Terra in funzione dell'angolo che la visuale dall'uno all'altro punto forma con la verticale in uno di essi, e dell'arco s di geodetica che congiunge le proiezioni A′, B′. dei due punti sulla superficie matematica, considerata - nella impossibilità di una rappresentazione analitica del geoide - coincidente con l'ellissoide di riferimento. Le altezze così determinate differiscono da quelle sul livello del mare per l'altezza N dell'ellissoide sul geoide. La figura 5 mostra lo schema geometrico del problema sotto alcune ipotesi semplificatrici (tra cui quella della complanarità delle normali ellissoidiche in A′ e B′) che si provano lecite: in essa le lettere hanno significato ovvio, in particolare G rappresenta il geoide, E l'ellissoide, OA′, OB′ le normali ellissoidiche considerate coincidenti con le verticali. Il problema non è però puramente geometrico perché la traiettoria luminosa è curvilinea a causa delle rifrazioni che la luce subisce per le variazioni di densità dell'aria incontrata nel suo percorso, sì che la linea di collimazione dello strumento rilevatore, quando da un punto sarà rivolto all'altro, si disporrà secondo le tangenti negli estremi alla traiettoria luminosa, anziché secondo AB. Si rileveranno quindi le distanze zenitali ζ_A e ζ_B anziché z_A e z_B. Gli angoli z_A − ζ_A e z_B − ζ_B sono angoli di rifrazione, e occorre conoscerli per risalire dalle zenitali osservate alle vere e ridurre puramente geometrico il problema della determinazione di H_B − H_A: questa è perciò legata alla torma della traiettoria luminosa, che a sua volta dipende dalla variazione dell'indice di rifrazione.

Si supponga una distribuzione di densità simmetrica rispetto a O e si indichino con μ l'indice di rifrazione, con r la distanza di un punto generico P della traiettoria da O, con ϑ l'angolo POA (figg. 5-6). Dalla fig. 6 si ha

mentre la legge cartesiana sulla rifrazione ci dà μ r. sen i = cost., che differenziata diviene

eliminando tra le due dr e ponendo

si ha:

La stessa figura 6 mostra che, per esser l'angolo di contingenza i + di − (i − dϑ), è di/dϑ + 1 = r/ρ = k, se con ρ indichiamo il raggio di curvatura della traiettoria luminosa nel punto. La grandezza k, così legata alle caratteristiche fisiche del mezzo e a quelle geometriche della traiettoria, si chiama coefficiente di rifrazione: ove se ne conosca il legame funzionale a r, si possono assegnare le successive derivate di i rispetto a ϑ e quindi uno sviluppo in serie di potenze di ϑ per cotg i. Risulta ìnfatti dopo immediate riduzioni

e quindi, contando ϑ a partire da OA, poiché i valori iniziali di r e i sono R_A + H_A e ζ_A,

Sostituendo questo valore in (1) e integrando tra i limiti o e θ si ha, a meno di termini del terzo ordine,

e quindi

ponendo R_A = R_B = R, come è lecito nel prefissato ordine di approssimazione, nel quale d'altra parte si può porre cotg² θ = 0 e s = (R + H_A) θ sì che la formula finale è

Il legame funzionale tra μ e r involge di fatto le variabili che determinano lo stato meteorologico (pressione, temperatura, umidità, ecc.) e la sua determinazione è pertanto legata a problemi di termodinamica dell'atmosfera. Sotto questo punto di vista se ne sono occupati Jordan e Gülland. A particolari ipotesi a priori su tale legame sono invece ricorsi, ad es., Bouguer e Bessel, avendo supposto il primo

e il secondo

in cui δ è la densità e m e β sono costanti da determinarsi sperimentalmente.

Particolare interesse ha l'ipotesi di Bouguer da cui consegue, limitandosi, come si fa, ai termini di primo ordine, che la traiettoria è circolare, gli angoli di rifrazione quindi uguali tra loro e uguali al semiangolo al centro, il coefficiente di rifrazione costante. La sua determinazione si può fare in tal caso osservando contemporaneamente le distanze zenitali reciproche. Dalla figura 5 si ha infatti con lecita approssimazione

e quindi

Con tale procedimento si sono determinati dei coefficienti regionali utilizzabili per calcoli di non alta precisione, perché non tengono conto delle condizioni locali e delle variazioni col tempo. Sono classiche le ricerche di Gauss in Germania. In Italia si ha un gruppo di ricerche di alto interesse dovuto soprattutto alla scuola palermitana e romana e all'Istituto geografico militare (A. Venturi, E. Soler, G. Loperfido, C. Mineo, V. Reina, G. Cicconetti). I valori trovati in diverse condizioni d) latitudine e geomorfiche variano da 0,094 a o,178.

Per il fatto che le distanze zenitali rilevate anziché alla normale ellissoidica, come si suppone, si riferiscono alla normale geoidica (verticale) del centro di stazione, agli angoli osservati sono da apportarsi correzioni dipendenti dalle componenti della deviazione locale. L'insieme dei lavori astronomico-geodetici della triangolazione darà gli elementi per tali riduzioni in una con gli scostamenti N del geoide dall'ellissoide, che permettono di passare alle altezze sul mare. Ove invece si avessero queste ultime, mediante la livellazione geometrica, l'altimetria trigonometrica permetterebbe di assegnare N. Ciò pone in luce la funzione della livellazione trigonometrica nel concetto di Willarceau e di Bruhns. Il trascurare le deviazioni locali è ammissibile solo per punti tra loro abbastanza prossimi perché la differenza delle loro altezze ellissoidiche possa riguardarsi uguale alla differenza tra le altezze sul mare.

È appena da osservare che, se nella formula (2) si trascura il termine As, si ha la differenza di livello nel caso di una superficie di riferimento piana e di rifrazione nulla, e che aggiungendo l'altezza dello strumento e sottraendo quella del punto battuto sul terreno si ha la formula di livellazione tacheometrica (v. celerimensura). È altresì da ricordare che i cerchi zenitali più fini dànno ai microscopî 2″ e sono dotati di livella di spia di adeguata sensibilità. Dal punto di vista della teoria degli errori la differenza di livello trigonometrica risulta affetta da un errore medio proporzionale alla distanza tra i punti, sì che il peso da attribuirsi, nella compensazione, a quote ottenute per vie diverse è inversamente proporzionale al quadrato delle distanze.

Livellazione barometrica. - La determinazione della differenza di quota tra due punti A e B può farsi in funzione della differenza tra i valori della pressione atmosferica misurata nei punti stessi, quando, astraendo dai fenomeni dinamici dell'atmosfera, si supponga che l'aria assuma uno stato di equilibrio in virtù soltanto della forza di gravità e che la distribuzione della temperatura dipenda solo dall'altezza. In tale ipotesi le superficie di ugual densità coincidono con quelle equipotenziali. Si consideri un cilindro di sezione unitaria avente a centro della base un punto P del terreno, e per asse la verticale in esso. Se in un punto P_i dell'asse ad altezza h la pressione è p, essa diverrà in altro punto ad altezza h + dh, p − dp, essendo dp = δ•g_Pi•dh in cui g_Pi, è la gravità in P_i; e δ la densità dell'aria nel suo intorno. Se indichiamo con δ₀ la densità dell'aria asciutta a 0⁰ (dell'umidità si tien conto moltiplicando per

e tensione p del vapore), con p₀ = 0,76•ϑ•g₄₅ la pressione di una colonna di 76 cm. di mercurio di densità ϑ a 45° di latitudine, con t la temperatura, sarà

La distanza dh_A tra due superficie di livello tra cui la pressione varia di dp in corrispondenza della verticale di A è quindi

e in corrispondenza della verticale di B (fig. 7) riferendoci a quanto si è detto per la riduzione ortometrica, con ovvio significato delle lettere, e supponendo un valore medio t della temperatura,

Se per g_Bi poniamo il valore normale risulterà

da cui integrando tra i limiti A e B con semplificazioni lecite

dove

Siffatta formula dà la differenza di livello ortometrica: ove nella dW = gdh si sostituisse a dh la sua espressione in funzione di dp e si integrasse, si avrebbe una differenza di quota dinamica. I valori della pressione da introdurre in calcolo sono da ottenersi dalle letture barometriche, con riduzioni di cui è detto a suo luogo. Per dislivelli non superanti i 200 m., e con grandi cure, l'errore di una determinazione può contenersi entro un paio di metri: tuttavia sono evidenti le notevolìssime influenze dell'ambiente, specie per ciò che riguarda la temperatura, che rendono molto scarsamente sicuro il metodo in questione. Per il calcolo delle differenze di livello barometriche, sono state costruite comode tavole, tra cui si possono segnalare quelle di Jordan.

Le considerazioni suddette intorno ai varî metodi di livellazione mostrano come la soluzione rigorosa del problema della determinazione dell'altezza dei punti della superficie fisica della Terra incontri difficoltà fondamentali per l'ignoranza in cui siamo di dati di natura fisica, gravimetrici o meteorologici. Avviene in questa, come in ogni altra questione geodetica, che non si può mai isolare l'aspetto geometrico dei fenomeni dalla realtà fisica che ne è la sostanza.

Bibl.: Per la livellazione geomeetrica: Helmert, Die math. u. phys. Theorien der höheren Geodäsie, II, Lipsia 1884; e, ad es., le note di A. Loperfido in appendice al 10° fascicolo della pubblicazione della R. Commissione geodetica italiana, Rete altimetrica fondamentale - Livellazione di precisione, Firenze 1905. Per la livellazione trigonometrica e per quella barometrica: P. Pizzetti, Trattato di geodesia teoretica, Bologna 1895; W. Jordan, Handbuch der Vermessungskunde, II, Stoccarda 1904. Per una completa esposizione delle questioni relative alla rifrazione, e una larga notizia ed i riferimenti bibliografici intorno ai lavori italiani: E. Soler, Ricerche su talune teorie di rifrazione geodetica, in Mem. Acc. Lincei, 1910; id., Note sulla teoria della rifrazione di Bouguer e Bessel, in Atti R. Acc. di Palermo, s. 3ª, II, 1892.