localizzazione

localizzazione

localizzazione in algebra, termine che indica il passaggio da un anello commutativo unitario A all’anello delle frazioni A_S (oppure S⁻¹A), dove S è una → parte moltiplicativa di A. Quando A è un dominio d’integrità, il procedimento porta alla costruzione di un sottoanello del campo dei quozienti di A. Tale sottoanello è a sua volta detto localizzazione di A rispetto a S. Formalmente, se S ⊆ A − {0} ne è una parte moltiplicativa, allora A_S è definito come A × S /∼, cioè come l’insieme quoziente di A × S rispetto alla relazione di equivalenza ∼

La classe di un elemento (a, s) in S⁻¹A è indicata mediante la frazione a /s. Su tale insieme si definisce dunque una struttura di anello commutativo unitario fornendolo delle due operazioni + e ⋅, di addizione e moltiplicazione, definite come segue, dove a e b sono due generici elementi di A e s e t sono due generici elementi di S:

Gli elementi neutri di tali operazioni sono rispettivamente 0 = 0/1 e 1 = 1/1. Tale anello S⁻¹A si presenta insieme a un omomorfismo naturale ƒ_S: A → S⁻¹A, definito da ƒ(a) = a /1. Tale omomorfismo è iniettivo se e solo se S non contiene divisori dello zero; se A è un dominio d’integrità, le localizzazioni di A si presentano quindi tutte come anelli intermedi compresi tra A e il suo campo dei quozienti. Lo stesso campo dei quozienti di un dominio d’integrità A si presenta come un caso particolare di localizzazione, in cui S coincide con l’intero A − {0}.

Se S è l’insieme delle potenze di un elemento x appartenente ad A e non nilpotente, vale a dire se S = {xⁿ : n ∈ N}, allora la localizzazione di A rispetto a S è anche indicata con il simbolo A_x ed è detta la localizzazione di A rispetto a x. Una seconda importante classe di esempi si ottiene se come insieme S si considera l’insieme complementare in A di un ideale primo P, vale a dire S = A − P.

In tal caso, la localizzazione di A in S è anche indicata con il simbolo A_P ed è detta la localizzazione di A rispetto a P. Per esempio, se A = Z è l’anello dei numeri interi e se P = (p) è l’ideale primo generato da un numero primo p, allora Z_(p) = {n /m ∈ Q: p non divide m}. Così, Z₍₂₎ è l’anello dei numeri razionali con denominatore dispari.

La localizzazione di un anello A rispetto a un suo ideale primo P è un anello dotato di un unico ideale massimale, che coincide con l’ideale generato dall’insieme ƒ_S(P), vale a dire l’ideale costituito dagli elementi della forma p /s, con p appartenente a P e s appartenente a S. Pertanto, se P è un ideale primo di A, la localizzazione A_P di A in P è un anello locale. Per esempio, se A = Z e se P = (p), allora l’ideale massimale M dell’anello locale Z_(p) è l’insieme M = {n /m ∈ Q: p divide n ma non divide m}.