LOGICA MATEMATICA

LOGICA MATEMATICA (XXI, p. 398; App. II, 11, p. 226)

MATEMATICA Il recente sviluppo della l. m. è caratterizzato da un ulteriore consolidamento istituzionale e da particolari estensioni, da una generale accentuazione del rigore e da ricorsi a nuove procedure. L'impostazione linguistica, consistente nello studiare le relazioni logiche attraverso l'analisi delle espressioni del linguaggio designanti concetti, giudizî e ragionamenti, ha finito per divenire pressoché universale, e con essa la distinzione fra linguaggio (oggetto d'analisi) e metalinguaggio (strumento d'analisi). All'interno di questa impostazione, il punto di vista sintattico, secondo cui la l. m. si risolve nell'elaborazione di sistemi simbolici artificiali o calcoli, atti a rappresentare la struttura di giudizî e di ragionamenti logicamente validi, è stato integrato da una prospettiva semantica, riguardante l'interpretazione o stabilimento del significato delle espressioni considerate. Il metodo fondamentale di tale costruzione appare quello assiomatico, normalmente messo in opera come segue.

A partire da un insieme di simboli opportunamente scelti (per esempio p, q, r, variabili proposizionali ossia nomi generici di giudizî, che possono essere veri o falsi; ~, V, connettivi o segni interpretabili rispettivamente come "non" e "oppure"; (,), simboli sussidiarî o parentesi), si enunciano regole di formazione, determinanti quali combinazioni di detti simboli (o "formule") sono ammesse nel sistema, e regole di trasformazione, aventi un duplice scopo: da un lato stabilire alcune espressioni conformi alle precedenti, regole come assiomi del sistema, per esempio:

o, introducendo il simbolo ⊃ (interpretabile come "se... allora..."), definito sulla base dei primitivi ~ e V (p ⊃ q = df ~ p V q):

dall'altro lato, formulare regole specifiche (d'inferenza e di sostituzione) per la derivazione dei teoremi dagli assiomi.

Un sistema assiomatico o calcolo del genere (la cui interpretazione deve esser resa esplicita con procedimento successivo) dicesi calcolo proposizionale o calcolo delle proposizioni (non analizzate) e rappresenta la parte più elementare della l. m. Mediante l'introduzione di ulteriori simboli e di nuovi assiomi, nonché l'ampliamento delle regole specifiche, vengono costruiti altri sistemi, variamente denominati (calcolo funzionale o calcolo dei predicati, semplici e relazionali; calcolo funzionale superiore o calcolo dei predicati allargato; ecc.), sistemi con i quali si completa la delineazione della scienza in esame.

Elaborata secondo tali linee essenziali, la l. m. viene oggi detta estensionale e bivalente o classica; con riferimento ad essa possono considerarsi versioni non classiche o estensioni le logiche intuizionistica, polivalente e modale.

Queste hanno avuto negli ultimi anni intenso sviluppo, soprattutto grazie all'opera di studiosi come L. E. J. Brouwer, A. Heyting, S. C. Kleene, J. B. Rosser, A. R. Turquette, J. C. McKinsey, O. Becker, G. H. von Wright, A. Schmidt, B. Sobociński, ecc. L'interesse per la logica intuizionistica, ricavabile dalla l. m. classica mediante opportune restrizioni della base assiomatica, è stato motivato prevalentemente dalla sua peculiare utilizzabilità nella fondazione della matematica, quello per la logica polivalente (contraddistinta da formule aventi più di due possibili valori: vero e falso) in parte dalla sua rilevanza per la logica delle probabilità, e quello per la logica modale (o delle modalità: necessario, contingente, impossibile, ecc.) dalla sua presunta maggiore adeguatezza, sotto varî rispetti, nei confronti della stessa l. m. classica.

Con il secondo dopoguerra l'evoluzione della l. m. si presenta eminentemente caratterizzata da innumerevoli contributi di natura particolare; i quali, consistendo in integrazioni di risultati già acquisiti, in nuove e più efficienti formulazioni, possono ritenersi a un tempo contributi nel senso dell'estensione e contributi nel senso dell'approfondimento del rigore. Essi riguardano temi come la coerenza e la completezza della l. m. superiore e argomenti analoghi (onde sviluppi dei celebri teoremi di Gödel, Church, Löwenheim-Skolem ad opera di A. Tarski, A. Mostowski, L. Henkin, ecc.), i rapporti fra algebra e logica (onde costruzioni di nuove algebre e logiche algebriche, accanto a quelle di Boole, ad opera di A. Robinson, L. Henkin, J. Łoś, H. Rasiowa, ecc.), le teorie dei tipi e degli insiemi e la fondazione logica della matematica (onde la revisione del sistema "stratificato" senza tipi di W. V. O. Quine ad opera di H. Wang, l'ulteriore affinamento dell'assiomatizzazione fraenkeliana della teoria degli insiemi ad opera di R. McNaughton e J. C. Shepherdson, il grande impulso dato alla dottrina delle funzioni ricorsive da K. Gödel, A. Church, H. B. Curry, J. B. Rosser, S. C. Kleene, E. L. Post, R. Péter, J. e R. Robinson, A. Markov, P. Novikov, R. L. Goodstein, ecc.) e simili.

Infine, tra le varianti metodologiche più cospicue si rilevano soprattutto, oltre al generico accentuarsi della tendenza a fornire dimostrazioni sul piano metalinguistico anziché su quello linguistico, la recente diffusione di procedure prevalentemente semantiche (piuttosto che sintattiche) per lo sviluppo della logica elementare (W. V. O. Quine: impiego di lettere schematiche al posto delle variabili), e il frequente ricorso al metodo della deduzione naturale (o di dimostrazione sotto assunzioni: G. Gentzen, S. Jaśkowski) in luogo dei normali procedimenti assiomatici.

Tutto ciò, omettendo di considerare la logica non strettamente deduttiva o induttiva e le applicazioni della l. m. in genere riguardanti le scienze naturali e la costruzione delle moderne calcolatrici.

Bibl.: La l. m. dispone, dal 1936, di un repertorio bibliografico pressoché completo: il Journal of Symbolic Logic, organo della internazionale Association for Symbolic Logic (S. U. A.). Ivi è reperibile una rassegna periodica degli scritti di l.m. apparsi in tutto il mondo. Da alcuni anni sono altresì interamente dedicate alla pubblicazione di monografie di l.m. due specifiche collane editoriali: Collection de logique mathématique, Parigi-Lovanio, e Studies in logic and the foundations of mathematics, Amsterdam. Fra le opere più recenti: O. Becker, Untersuchungen über den Modalkalkül, Meisenheim-Glan 1952; E. W. Beth, Les fondements logiques des mathématiques, 2ª ed., Parigi-Lovanio 1955; R. Carnap, Einführung in die symbolische Logik, Vienna 1954; A. Church, Introduction to mathematical logic, I, Princeton, N. J., 1956; H. B. Curry, A theory of formal deducibility, Notre Dame, Indiana, 1950; id. Outlines of a formalist philosphy of mathematics, Amsterdam 1951; id., Leçons de logique algébrique, Parigi-Lovanio 1952; A. Fraenkel, Abstract set theory, Amsterdam 1953; L. Henkin, La structure algébrique des théories mathématiques, Parigi 1956; H. Hermes, Entscheidungs-probleme in Mathematik und Logik, Münster i. W. 1954; H. Hermes-H. Scholz, Mathematische Logik, Lipsia 1952; A. Heyting, Les fondements des mathématiques, Parigi-Lovanio 1955; id., Intuitionism, Amsterdam 1956; D. Hilbert-W. Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logik, 4ª ed., Berlino 1959; S. C. Kleene, Introduction to metamathematics, New York-Amsterdam 1952; A. Markov, Teoria algorifmov, Mosca-Leningrado 1954; A. Mostowski, Sentences undecidable in formalized arithmetic, Amsterdam 1952; P. S. Novikov, Ob algoritmičeskoj nerazrešimosti problemy toždestva slov v teorii grupp, Mosca 1955; R. Péter, Rekursive Funktionen, Budapest 2ª ed., 1957; W. V. O. Quine, Methods of logic, New York 1950; id., Mathematical logic, 2ª ed., Cambridge, Mass., 1951; A. Robinson, On the metamathematics of algebra, Amsterdam 1951; P. C. Rosenbloom, The Elements of mathematical logic, New York 1950; J. B. Rosser, Logic for mathematicians, New York 1953; J. B. Rosser-A. R. Turquette, Many-valued logics, Amsterdam 1952; A. Tarski, A decision method for elementary algebra and geometry, 2ª ed., Berkeley, California, 1951; id., Logic, semantics, metamathematics, Oxford 1956; A. Tarski-A. Mostowski-R. M. Robinson, Undecidable theories, Amsterdam 1953; H. Wang-R. McNaughton, Les systèmes axiomatiques de la théorie des ensembles, Parigi-Lovanio 1953; G. H. von Wright, An essay in modal logic, Amsterdam 1951. In lingua italiana: A. Pasquinelli, Introduzione alla logica simbolica (con prefazione di L. Geymonat), Torino 1957; W. V. O. Quine, Manuale di logica (traduzione del vol. cit. Methods of Logic, a cura e con introduzione di M. Pacifico), Milano 1960; E. Casari, Lineamenti di logica matematica, Milano 1960.