LOGICA MATEMATICA

LOGICA MATEMATICA (XXI, p. 398)

MATEMATICA Negli ultimi decennî si è notevolmente sviluppata in direzioni assai diverse.

L'indirizzo di Peano. - L'uso del simbolismo di G. Peano, che pareva aver ricevuto la più larga applicazione possibile nella 5ª edizione del Formulario di Matematica (1908), si è in realtà andato considerevolmente estendendo, specialmente nel campo della teoria dei numeri, nella quale la parte più rigorosa e sottile, basata su ragionamenti sempre più complicati e precisi, viene oggi spesso esposta con l'ausilio di tale simbolismo o di simbolismi analoghi.

I tre volumi delle Vorlesungen über Zahlentheorie di E. Landau (1927) possono così considerarsi come una raccolta non lontana dallo stile del Formulario di Peano. Recentemente G. H. Hardy dell'università di Cambridge ed E. M. Wright dell'università di Aberdeen, nel volume An Introduction to the theory of Numbers, Oxford 1945, hanno adoperato i principali simboli del sistema di Peano, cambiando soltanto, come Peano aveva previsto, la forma di taluni di questi.

È probabile che nel prossimo avvenire tali esempî si moltiplichino, estendendosi anche ad altri campi delle matematiche. Infatti la rapidità crescente con la quale si pubblicano in tutto il mondo, con notazioni diverse, le quali rendono sempre più difficile la loro lettura, scritti matematici nei varî campi della scienza, rende necessario adottare un sistema uniforme di simboli, il quale permetta di rappresentare i ragionamenti sotto una forma che si discosti il meno possibile da quella che si è naturalmente presentata agli autori che li hanno scoperti. L'uso dei simboli della logica matematica, una decina in tutto, ha una tale flessibilità ed adattabilità, che il loro uso si sviluppa in modo assai più rapido di quanto si poteva prevedere mezzo secolo fa.

In quanto alla valutazione dell'opera di Peano nei riguardi dei fondamenti dell'aritmetica e della matematica in generale, non sono mancate negli ultimi tempi affermazioni tendenti ad attribuire un valore definitivo ai postulati dell'aritmetica di Peano, nel senso che non avrebbe significato o almeno non varrebbe la pena di essere intrapreso il tentativo di un'ulteriore riduzione dell'aritmetica alla logica.

Lo stesso B. Russell, nella commemorazione di A. N. Whitehead (1861-30 dicembre 1947), pubblicata in Mind (aprile 1948), ha dovuto melanconicamente riconoscere che lo sforzo da lui fatto nella pubblicazione dei tre volumi dei Principia Mathematica, scritti in collaborazione con Whitehead dal 1900 al 1910 "was so severe that at the end we both turned aside from mathematical logic with a kind of nausea". Più francamente ancora J. Hadamard concludeva nella nuova Encyclopédie Française, Parigi 1938 (vol. 1° 52-14): "Le système de Peano devait être formé tel qu'il l'a été, et reste la base logique de l'aritméthique. Le tort des logisticiens n'est pas de n'avoir pas démontré la compatibilité de ce système, mais d'avoir tenté cette démonstration".

Sviluppi recenti. - Per avviare ai più moderni sviluppi della logica matematica, è opportuno esporre anzitutto alcuni motivi che fecero preferire il calcolo delle proposizioni al calcolo delle classi.

Sono noti i concetti di classe e di funzione proposizionale. Dicesi funzione proposizionale un'espressione contenente una variabile (per es. "x è mortale") tale che, sostituita questa variabile con un termine opportunamente scelto, ne sorga una proposizione fornita di senso, poco importa se vera o falsa (per es. "Caio è mortale"). È pure noto che G. Peano, introducendo i simboli ε ("appartiene a") ed ??? ("tale che "), dimostrò l'esistenza di un certo parallelismo tra i due concetti anzidetti. Si ottiene questo parallelismo stabilendo di passare dalla classe C alla funzione proposizionale "x appartiene a C", che dà luogo a proposizioni vere quando e solo quando si sostituisca ad x un elemento di C; e, viceversa, di passare dalla funzione proposizionale p (x) alla classe C costituita da tutti e soli gli elementi x "tali che", sostituiti nella funzione p (x), la trasformino in una proposizione vera.

Il parallelismo ora esposto tra classe e funzione proposizionale non è, tuttavia, perfetto. Ed infatti: mentre due classi diverse non possono mai dare luogo, seguendo la regola anzidetta, alla medesima funzione proposizionale, accade invece, talvolta, che due funzioni proposizionali diverse determinino la medesima classe; ciò si verifica quando esse risultano "formalmente equivalenti", cioè quando ogni argomento che rende vera l'una rende vera anche l'altra. Lo studio delle funzioni proposizionali è quindi più ricco e più preciso che lo studio delle classi.

Ma non basta; il calcolo delle proposizioni presenta pure un altro motivo di superiorità. Esso si è sviluppato in un calcolo, che non trova alcuna corrispondenza in quello delle classi: si tratta del calcolo delle relazioni. Sono, queste, funzioni a due o più variabili (per es. "x è maggiore di y") che dànno luogo a proposizioni fornite di senso nel caso che alle loro variabili si sostituiscano termini costanti opportunamente scelti. L'importanza del calcolo delle relazioni è tale, nella matematica moderna che sarebbe ridicola la pretesa di compiere un'analisi logica completa di tale scienza senza fare uso di questo calcolo.

Senza addentrarsi nello sviluppo simbolico del calcolo delle proposizioni e delle relazioni, si può dire che i pochi cenni richiamati possono servire a mettere in luce il punto più caratteristico della logica matematica moderna.

È chiaro che la logica non s'interessa della verità o falsità delle singole proposizioni elementari; ciò che le importa sono le connessioni di proposizioni (per es. la congiunzione, la disgiunzione, l'implicazione, ecc.). Ebbene: poiché proprio questi nessi formano la struttura sintattica delle lingue da noi usate (lingua ordinaria e lingue scientifiche), segue di qui lo stretto rapporto tra logica e sintassi. Però, mentre la sintassi, come viene comunemente intesa, si limita ad una descrizione sommaria dei nessi in uso presso le varie lingue, la logica mira a qualcosa di più: a determinare con estrema precisione tutte le caratteristiche di ciascun nesso fra proposizioni, stabilendo anche quali mutamenti si produrrebbero in una lingua qualora noi alterassimo le connessioni-base valide per le sue proposizioni. È uno studio irto di difficoltà, che se condotto a termine, riesce a farci cogliere le differenze e i rapporti tra una lingua e l'altra, portando nuova luce su problemi come quelli dei rapporti tra matematica e fisica, tra proposizioni delle scienze esatte e proposizioni della lingua ordinaria, ecc.

Per dare un'idea della potenza dei mezzi a disposizione della logica moderna nell'analisi dei nessi di proposizioni, sarà utile accennare al cosiddetto calcolo delle matrici.

Sia F (p, q) una proposizione molecolare, cioè una proposizione composta di due proposizioni elementari p, q; determinare la struttura logica di F (p, q) significa precisare con esattezza il valore di verità ad essa spettante nei varî casi di verità o falsità delle proposizioni elementari che la compongono. Questo valore risulta determinato, nel modo più rigoroso possibile, allorché si riempiano con le due iniziali v ed f (delle due parole "vero" e "falso") le quattro caselle vuote della seguente matrice.

Per ciascuna delle 16 possibilità diverse, si avranno proposizioni molecolari diverse, e sarebbe facile verificare che molte di esse vengono solitamente confuse dal linguaggio ordinario. Una delle proposizioni molecolari più importanti è la cosiddetta implicazione materiale (in simboli: p ⊃ q), che B. Russell ha elevato al rango di "relazione fondamentale del dedurre" nei suoi Principia Mathematica diretti a fornire una ricostruzione razionale, perfettamente rigorosa, del grande edificio della matematica moderna. Essa è caratterizzata dalla seguente matrice:

L'implicazione materiale di Russell risulta ben diversa dall'implicazione formale, di cui fa uso il linguaggio ordinario postulando un legame di derivazione necessaria tra p e q. Sono sorte pertanto molte discussioni, tra i logici moderni, sulla struttura e i compiti dell'implicazione formale; certo essa non risulta determinabile da alcuna matrice del tipo [1], e quindi non può venire riguardata come una proposizione molecolare. Rudolf Carnap dimostrò che essa costituisce, non una relazione sintattica, ma una relazione quasi-sintattica tra le proposizioni elementari componenti p e q.

Quanto esposto dà un'idea dei mezzi, coi quali opera la logica moderna. Per rendersi conto dei risultati più significativi che essa raggiunge, si accennerà all'esame delle variazioni che si produrrebbero nella struttura sintattica delle lingue rigorosamente definite, allorché venissero mutati alcuni nessi di proposizioni sui quali esse si fondano.

Ci si è chiesti, per es., che cosa potrebbe accadere per la matematica, qualora si elevasse al rango di "relazione fondamentale del dedurre" non più l'implicazione materiale di Russell ma un'altra delle 16 funzioni molecolari ricavabili dalla [1]; o, più in generale, qualora si attribuissero alle proposizioni elementari non due soli possibili valori (v ed f) ma tre valori o più, determinando in modo opportuno le combinazioni di questi valori.

Da quest'ultimo tentativo è sorta la logica polivalente di J. Lukasiewicz e della scuola polacca. Lukasiewicz ha potuto, tra l'altro, provare che la costruzione della matematica secondo certe regole di logica polivalente dà luogo a un sistema di proposizioni che equivalgono a quelle della matematica intuizionistica di L. E. J. Brouwer. Sviluppando, invece, una logica a infiniti valori, H. Reichenbach è riuscito a dare un nuovo aspetto al calcolo delle probabilità, particolarmente idoneo all'esposizione dei risultati della fisica teorica moderna.

La dimostrazione pratica della possibilità di stabilire le regole di deduzione in una o nell'altra forma, ha portato infine una grande maturità nella discussione di controversie, che erano state per l'addietro assai aspre, come quelle sull'accettabilità o meno del principio del "terzo escluso", del principio di E. Zermelo, ecc. Si è potuto così affrontare, da parte del cosiddetto "Circolo di Vienna", il problema generale: esiste qualche sintassi privilegiata, fra le molte possibili? Esiste un complesso di principî logici che possa ambire ad esprimere una "razionalità assoluta" come quella di cui parlavano gli antichi metafisici? La conclusione, coronamento di lunghe rigorose ricerche delle migliori scuole logiche moderne, si riassume in due parole: "convenzionalismo radicale". Non ha senso, secondo i filosofi del Circolo viennese, discutere quale logica sia da preferirsi: nella logica non si dànno imperativi, ciascuno può costruire come meglio crede la struttura sintattica della lingua che intende adoperare (principio di tolleranza di R. Carnap): importante è che determini con esattezza le regole sintattiche da lui accettate.

Indirizzi successivi, nell'intento di uscire parzialmente da questo radicale convenzionalismo, con cui si conclude la ricerca delle moderne scuole di logica matematica, a differenza di non poche né trascurabili correnti del pensiero filosofico moderno, hanno fatto ricorso ad altri campi dell'attività umana. In ogni caso, anche per essi è certo che la logica non trova né in sé, né in alcuna intuizione metafisica, la giustificazione dei suoi principî e che le connessioni logico-linguistiche hanno un netto carattere convenzionalistico: l'analisi dei nessi di proposizioni ha, secondo questi indirizzi di moderna logica matematica, definitivamente fugato ogni argomento contrario. La logica matematica non costituisce più, quindi, il canone univoco e assoluto per decidere della validità di qualsiasi dimostrazione. Come si elaborano diverse geometrie, diverse meccaniche, ecc., così si possono elaborare diverse logiche, e perciò diversi linguaggi scientifici, conformati ciascuno su di una sua logica. Per tutti codesti indirizzi il problema caratteristico della logica è l'esatta determinazione di questi linguaggi; quello della scelta di un linguaggio piuttosto che un altro, è invece problema di azione.

Bibl.: R. Carnap, Abriss der Logistik, Vienna 1929; id., Logische Syntax der Sprache, Vienna 1934; H. Reichenbach, Wahrscheinlichkeitslehre, Leida 1935; id., Introduction à la logistique, Parigi 1941; J. Schächter, Prolegomena zu einer kritischen Grammatik, Vienna 1935; A. Traski, Einführung in die mathematische Logik, Vienna 1937; I. Bochenski, Nove lezioni di logica simbolica, Roma 1938; L. Geymonat, Studi per un nuovo razionalismo, Torino 1945; M. R. Cohen, A Preface to Logic, Londra 1946; J. Feebleman, The revival of realism, in Critical studies in contemporary Philosophy, Londra 1946; W. Kneale, Boole and the revival of logic, in Mind, aprile 1946, pp. 149-175; G. Vacca, Logica matematica e logistica, in Quaderni di sintesi, I, Roma 1946, pp. 37-46; R. H. J. Germansky, Axioms of the natural numbers, in Math. Review, 1947, p. 126; K. Ding, on Germansky's System of axioms, ibid., 1947, p. 558; É. Borel, Sur l'illusion des définitions numériques, in Comptes-Rend. de l'Acad. des Sciences, 1947, pp. 765-56; M. Boll, Manuel de logique scientifique, Parigi 1948.