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massimo comune divisore

Enciclopedia della Matematica (2013)
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massimo comune divisore


massimo comune divisore (in simbolo mcd) tra due numeri interi a, b è il numero intero M che soddisfa le due seguenti proprietà:

• M divide a e b;

• se c è un intero che divide a e b, allora c divide M. Il massimo comune divisore tra due interi a e b esiste sempre ed è unico, a meno del segno; è il più grande numero che li divide tutti e quindi il massimo fra i sottomultipli comuni. Convenzionalmente, esso viene preso con il segno positivo ed è indicato con il simbolo mcd(a, b), oppure, nella notazione inglese, con gcd(a, b). Il massimo comune divisore tra due interi a e b può essere calcolato applicando l’algoritmo di → Euclide; alternativamente, note le due fattorizzazioni in numeri primi di a e b, esso può essere calcolato effettuando il prodotto di tutti i fattori primi comuni ad a e b, elevati al minimo esponente con cui essi compaiono nelle due fattorizzazioni: per esempio, poiché 264 = 23 ⋅ 3 ⋅ 11 e 2420 = 22 ⋅ 5 ⋅ 112, si ricava mcd(264, 2420) = 22 ⋅ 11 = 44. Tra il massimo comune divisore M e il → minimo comune multiplo m di due interi a e b sussiste la relazione ab = mM. Una situazione analoga si ha se, invece di numeri interi, si considerano polinomi (a coefficienti in un qualsiasi campo K): anche in questo caso il massimo comune divisore tra due polinomi p(x) e q(x), definito dalle stesse proprietà formali enunciate nel caso di due interi, esiste sempre ed è unico, a meno di un fattore invertibile, vale a dire costante; convenzionalmente, si considera il polinomio monico, indicato con il simbolo mcd(p, q). Analogamente al caso di due numeri interi, il massimo comune divisore tra due polinomi p e q può essere calcolato applicando l’algoritmo di Euclide oppure a partire da due fattorizzazioni note in polinomi irriducibili dei polinomi dati, effettuando il prodotto dei fattori comuni a p e q elevati al minimo esponente con cui compaiono nelle due fattorizzazioni.

Più in generale, la nozione di massimo comune divisore è definibile in un qualsiasi dominio d’integrità D; non sempre però esso esiste. Se però D è un dominio a fattorizzazione unica, allora il massimo comune divisore tra due elementi dell’anello esiste sempre ed è unico, a meno di un fattore invertibile. Come nei casi precedenti, dati due elementi di D, il loro massimo comune divisore è sempre calcolabile a partire da due fattorizzazioni note degli elementi dati; se in aggiunta D è un dominio euclideo, allora l’algoritmo di Euclide, opportunamente riformulato in tale contesto, offre un metodo alternativo per il calcolo.

Vedi anche
numero Ciascuno degli enti astratti che costituiscono una successione ordinata e che, fatti corrispondere ciascuno a ciascun oggetto preso in considerazione, servono a indicare la quantità degli oggetti costituenti un insieme. Matematica Nell’uso comune i n. sono adoperati: a) per indicare il posto occupato ... mìnimo comune mùltiplo Il minore tra i multipli comuni a due o più numeri interi positivi (in sigla m.c.m.; ➔ minimo). algebra Uno dei rami fondamentali delle scienze matematiche: in senso lato l’a. studia le operazioni, definite in un insieme, che godono di proprietà analoghe a quelle delle ordinarie operazioni dell’aritmetica. Con significato specifico è sinonimo di sistema ipercomplesso. La parola al-giabr è usata per la ... matrice Anatomia Ammasso di cellule epiteliali alla cui attività si deve la formazione di un tessuto. M. dell’unghia L’ammasso di cellule dello strato onicogeno che si osserva in corrispondenza della radice dell’unghia e della lunula, e alla cui opacità è dovuto il colorito biancastro di quest’ultima. M. del ...
Tag
  • DOMINIO A FATTORIZZAZIONE UNICA
  • MINIMO COMUNE MULTIPLO
  • POLINOMI IRRIDUCIBILI
  • ALGORITMO DI EUCLIDE
  • DOMINIO D’INTEGRITÀ
Altri risultati per massimo comune divisore
  • massimo comun divisore
    Enciclopedia on line
    (MCD) In matematica, dati 2 o più numeri interi, il più grande tra i divisori a essi comuni. Se due o più numeri hanno per MCD l’unità, si dicono primi tra loro. Naturalmente più numeri primi sono anche primi tra loro, ma non viceversa. Il MCD può trovarsi con il metodo delle divisioni successive, ...
Vocabolario
màssimo
massimo màssimo agg. e s. m. [dal lat. maxĭmus, superl. di magnus «grande»]. – Grandissimo, il più grande. Funge da superlativo di grande (come il lat. maxĭmus rispetto a magnus) e si contrappone direttamente a minimo. 1. a. Si usa, quasi...
diviṡóre
divisore diviṡóre s. m. [dal lat. divisor -oris, der. di dividĕre «dividere»]. – 1. Chi divide; oggetto, ente o valore che divide. In partic.: a. In matematica, il secondo termine dell’operazione di divisione, cioè il numero per cui deve...
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