ATTUARIALE, MATEMATICA

ATTUARIALE, MATEMATICA (V, p. 316)

Nella definizione della m. a. data nell'articolo citato è detto che "Sotto la denominazione di m. a. vanno a rigore comprese le applicazioni della matematica alle assicurazioni"; tuttavia la trattazione si limita alle assicurazioni libere sulla vita umana, oggetto della m. a. "in senso stretto", dato che "trascurabile sviluppo matematico hanno avuto finora le altre forme di assicurazione".

Da quell'epoca (1930) la situazione si è modificata sensibilmente: la detta "m. a. in senso stretto" è sempre il capitolo più completo e classico, ma su altri argomenti, oggetto di fors'anche maggiore interesse, si registrano numerosi tentativi e progressi nell'impostazione e trattazione matematica di svariati problemi.

Già il modo di concepire il valore di quel caso "classico" ha subìto un'evoluzione profonda: nel sec. 19° l'esistenza diuna certa "legge di mortalità" e la "indipendenza" fra le probabilità di morte di più individui erano state presentate come "assiomi" (G. Bohlmann) e addirittura particolari formule analitiche furono concepite come espressione di "leggi naturali" della mortalità (B. Gompertz-W. M. Makeham); in seguito, pur attenuando siffatte posizioni dottrinarie, si continuò a considerare privilegiati i capitoli che grazie ad esse avevano una compiuta perfezione formale; poi però, gradualmente, le "regolarità" si sono co1ifigurate come mere assunzioni semplificative più o meno accettabili come approssimazioni empiriche, e il confine tra il campo classico e il resto ha perduto quindi ogni valore di principio.

Quanto alle probabilità di morte, è stato per es. precisato che, a rigore, dovremmo valutarle come estrapolazioni al futuro del risultato di osservazioni passate tenendo conto dei presumibili effetti di attuali e futuri progressi della medicina, ecc. (R. D. Clarke, in J.I.A., 1954); del resto la rigidità dell'assunzione di "mortalità funzione della sola età" era già smantellata per la considerazione di differenziazioni per antidurata (tavole selezionate), rischi tarati (sopramortalità crescenti, costanti, decrescenti), costituzione, stato civile, ecc. Quanto all'indipendenza, è stato riconosciuto il valore approssimato di tale ipotesi, da sostituirsi, a qualche effetto, con più appropriate ipotesi di correlazione positiva; ciò vale soprattutto per problemi di riassicurazione (Stop Loss, v. sotto) sensibili a fluttuazioni collettive (P. Dubois, in B.A.F., 1936), ma può anche giocare in assicurazioni su più teste (P. Tortorici, in G.I.I.A., 1959).

Per passare ad altri campi e problemi della m. a. converrà seguire un criterio più di gradualità che logico: - avremo dapprima problemi d'impostazione analoga a quella "classica" (tavole di eliminazione in base soprattutto all'età); - e varianti per casi analoghi trattati in forma di assicurazioni sociali (o in schemi di sicurezza sociale); - quindi problemi specifici di rami d'assicurazione su rischi di natura diversa; - e infine problemi di natura più generale sul rischio, la riassicurazione, e problemi di principio connessi a tali argomenti.

Invalidità, malattie, infortunî. - È applicabile uno schema di tavole di eliminazione per più cause e dì passaggi tra più gruppi (per es. attivi sani o ammalati, invalidi, morti) che costituisce una generalizzazione dello schema "classico" dell'assicurazione vita, più o meno immediata (a seconda che le probabilità si fanno dipendere solo dall'età, o anche per es. da antidurate di malattia o invalidità o malattie precedenti, ecc.). Tale impostazione risale a J. Karup (1893); tra i molti contributi successivi cfr. spec. F. P. Cantelli (in A.M.M., n. 19). Riguardo all'assicurazione malattie, si noti però che è possibile e spesso più pratico considerarla alla stregua dei rischi elementari (tipo incendî, ecc., v. sotto).

Applicazioni in forma mutualistica o di assicurazione sociale. - Gli schemi accennati trovano spesso applicazione per fondi di previdenza e per forme di assicurazione sociale, però, in genere, con varianti rispetto al modo diretto in cui andrebbero applicati in caso di assicurazione libera. Subentrano, infatti, in quei casi, in misura e forma più o meno spinta, considerazioni di carattere mutualistico, solidaristico, sociale, rese possibili dal carattere obbligatorio dell'istituzione. Prescindendo dalla mancanza di vincoli tipo visita medica, in genere, per i fondi pensione, si valuta in base ad ipotesi medie anche il gravame derivante dalla composizione familiare (cosicché per es. l'onere per le pensioni vedovili viene ripartito anche tra i celibi). Compensazioni anche più radicali fra individui, gruppi o generazioni hanno luogo nelle assicurazioni sociali, dove i contributi si fissano spesso in misura uniforme curandone l'equivalenza non individuo per individuo ma per l'intera collettività.

Un'impostazione ispirata a tale concetto (L. von Bortkiewicz, F. P. Cantelli, ecc.) prevede per es. di coprire, con una maggiorazione fissa perpetua dei contributi della popolazione futura, l'aggravio iniziale che si ha se si decide di corrispondere subito le prestazioni alla popolazione iniziale che non aveva corrisposto contributi. Il risultato è che la maggiorazione è necessaria oppure nulla a seconda che si supponga un accrescimento della popolazione in misura inferiore o superiore al tasso d'interesse.

Con l'avvento di concezioni più radicali, ci si è andati progressivamente svincolando anche da tali impostazioni ancora fino a un certo punto improntate alle particolari esigenze e limitazioni dell'assicurazione privata. Passando dal metodo della capitalizzazione (ìn cui i contributi di ogni generazione vanno a formare le riserve per le prestazioni a favore di essa stessa) al metodo della ripartizione (in cui ad ogni istante i contributi servono per le prestazioni in corso, senza - in principio - costituire riserve), e ancora più concependo certe prestazioni come un dovere sociale, il problema attuariale si sposta a stima di un fabbisogno, mentre il reperimento dei fondi rientra più o meno nell'ambito del problema fiscale.

Assicurazioni elementari. - Ai più o meno ovvî problemi matematico-statistici (dipendenza del rischio da diversi fattori, probabilità di diversi livelli di danni parziali, ecc.) se ne aggiungono altri di tipo più moderno e interessante. Accenniamo a due esempî. Le statistiche degli incidenti (auto, o sul lavoro, ecc.) rivelano un andamento spiegabile sia come effetto "contagioso" (ogni infortunio subìto predispone a subirne altri) sia come effetto di "inomogeneità" (diversa predisposizione da individuo a individuo, ma non modificabile per gli incidenti passati). È possibile rilevare dati che permettano di decidere tra queste due "spiegazioni", o sono indiscernibili in tutti i loro effetti? È questo il problema della "Accident proneness" (cfr. J. Neyman). L'altro esempio concerne la possibilità di istituire un sistema razionale di abbuoni sui premî di assicurazioni auto regolato automaticamente sulla mancanza d'incidenti negli anni precedenti. A titolo esemplificativo, si pensi ad un abbuono del 20% o 40% del premio a coloro che negli ultimi 2, o risp. 5 anni sono stati assicurati senza dar luogo a sinistri; gli schemi effettivi (applicati in Svezia) sono però congegnati in modo più complesso. Requisito di uno schema "razionale" secondo l'impostazione di V. Grenander (in Sk. A., 1957) è la realizzazione di un adeguamento automatico, in media, del premio al rischio, nell'ipotesi che per ogni assicurato vi sia una probabilità q (costante, indipendente) di dar luogo a danni in un anno (in modo esatto, oppure approssimato entro certi limiti per q: v. fig. da op. cit.).

Rischio, riassicurazione. - Come deve regolarsi un assicuratore (limitando la copertura, in particolare ricorrendo alle varie forme di riassicurazione; oppure con riserve di rischio; ecc.) per conseguire col minor sacrificio un sufficiente grado di sicurezza? Questo problema, che generalizza l'argomento della "teoria del rischio" classica, è stato oggetto di svariati studî, che prendono le mosse dalla "teoria collettiva del rischio" (sorta in Svezia, con F. Lundberg, H. Cramér, ecc.) e da considerazioni intese ad integrarla o modificarla o controbatterla (per es., in Italia, da B. de Finetti, G. Ottaviani, B. Tedeschi, D. Fürst). Schematicamente, si tratta di seguire il processo (stocastico) dell'accumulo e dell'utilizzazione di una riserva di rischio in dipendenza di utili e perdite; come singoli aspetti, in una impostazione completa, intervengono però infiniti sottoproblemi. Altri si aggiungono passando dal punto di vista di un singolo assicuratore a quello che considera simultaneamente la convenienza per tutti di date procedure e strutture del mercato riassicurativo (in particolare con riguardo alle riassicurazioni per eccesso sinistri e per Stop Loss; v. N. P. R.).

Utilità, caricamenti, vantaggiosità. - La teoria probabilistica dell'utilità (modernizzazione della "speranza morale" di D. Bernoulli, preconizzata da F. P. Ramsey, presentata da J. von Neumann e O. Morgenstem, perfezionata da L. J. Savage, ecc.) ha ridato il mezzo adatto per discutere dei limiti di convenienza di un'assicurazione per l'assicurato da una parte (nonostante il caricamento, grazie all'eliminazione del rischio) e per l'assicuratore dall'altra (grazie al caricamento, nonostante l'assunzione del rischio). Anche i predetti problemi concernenti rischio e riassicurazione trovano in tali concetti il più adeguato punto di partenza.

Bibl.: I. Messina, Tecnica delle assicurazioni sociali, Roma 1951, M. A. Coppini, Tecnica delle assicurazioni sociali, Roma 1955; H. Cramér, On the mathematical theory of risk, Stoccolma 1930; id., Collective risk theory, ivi 1955; F.P. Cantelli, Alcune memorie matematiche, Roma 1958 (cit. A.M.M.); S. Vajda (e altri), Non-proportional reinsurance, Bruxelles 1955 (cit. N.P.R.); J. Neyman, in Atti Congr. Ini. Matem., I, Amsterdam 1954, p. 349; Atti dei Congressi Internazionali Attuarî (XIII, Scheveningen 1951; XIV, Madrid 1954; XV, New York 1957); riviste (v. citaz. n. testo); G.I.I.A. = Giorn. Ist. Ital. Attuarî; J.I.A. = Journal of the Institute of Actuaries; B.A.F. = Bulletin Actuaire Français; Sk. A. = Skandinavisk Aktuarietidskrift.