FINANZIARIA, MATEMATICA

FINANZIARIA, MATEMATICA

Interesse e tasso d'interesse. - Si dice interesse il reddito del capitale. L'interesse e il capitale vengono generalmente espressi in moneta. Si chiama tasso d'interesse il rapporto fra l'interesse prodotto dal capitale nell'unità di tempo e il capitale stesso; esso rappresenta perciò l'ammontare degl'interessi prodotti dall'unità di capitale nell'unità di tempo. È questo il tasso che si usa in teoria. Nella pratica ricorre il tasso d'interesse percentuale, pari a 100 volte il tasso teorico o unitario. Come unità di tempo si adopera generalmente l'anno. Il capitale aumentato degl'interessi si chiama montante.

Interesse semplice e interesse composto. - a) Interesse semplice. - L'interesse semplice si calcola moltiplicando il capitale per il tasso d'interesse annuo e per il tempo (espresso in anni). In simboli, se C denota il capitale, i il tasso d'interesse e n il tempo (n intero o frazionario) l'interesse è dato da

e il montante da

b) Interesse composto. - L'interesse composto prodotto da un capitale C in n anni si ha facendo la differenza tra il montante del capitale dopo n anni, calcolato come appresso, e il capitale stesso. Il montante di un capitale C per n anni (n intero o frazionario), al tasso annuo i, è dato da

Se in luogo del tasso annuo i è assegnato il tasso i^(m) relativo ad 1/m di anno, il montante del capitale C dopo n anni (n intero o frazionario) sarà espresso da C(i + i^(m))^{m n}. Per esprimere questo montante mediante un tasso d'interesse riferito all'anno, si moltiplica il tasso i^(m) per m e il prodotto si chiama tasso nominale dell'interesse capitalizzabile m volte all'anno e lo si indica con j_(m). Per distinguere il tasso i dal tasso j_(m) il primo si chiama tasso effettivo. Per mezzo del tasso j_(m) il montante in esame si esprimerà:

I due tassi i e j_(m) si dicono equivalenti se soddisfano alla relazione

Qualora m tenda all'infinito, mantenendosi j_(m) equivalente ad un tasso i assegnato, il tasso j_(m) tende, decrescendo, verso un limite fisso che è δ = log (1 + i) (dove log significa logaritmo naturale) e δ si chiama forza d'interesse equivalente al tasso i. Il montante di cui sopra è dato dalla formula

dove e = 2,71828... è la base dei logaritmi naturali ed n è intero o frazionario.

Per mezzo delle formule precedenti si risolvono senza difficoltà tutti i problemi inversi, in cui cioè sia da determinare il capitale iniziale, il tasso d'interesse o il tempo d'impiego, quando siano noti gli altri elementi che compaiono in quelle formule. È degna di nota la regola seguente: un capitale impiegato a interesse composto al tasso effettivo i si raddoppia dopo un tempo che approssimativamente si ottiene dividendo 0,693 per i e aggiungendo 0,35.

Sconto e tasso di sconto. - Il montante e il capitale iniziale possono essere considerati da un diverso punto di vista. Il montante, cioè, può essere considerato come una somma dovuta tra n anni, e il capitale iniziale come il valore attuale di quella somma. La differenza fra una somma dovuta a una scadenza futura e il suo valore attuale si chiama sconto. In simboli, indicando con S la somma predetta, con C il suo valore attuale e con D lo sconto, si ha D = S − C. Quando la somma dovuta è l'unità, cioè S = 1, e il periodo di tempo è l'anno, si scrive v in luogo di C e d in luogo di D: allora d si chiama tasso di sconto ed è d = 1 −v. Poiché si ha 1 = v + vi, risulta d = 1 − v = vi, ossia il tasso di sconto è uguale al valore attuale del tasso d'interesse. Si dimostra che la forza d'interesse δ è approssimativamente eguale alla semisomma dei tassi d'interesse i e di sconto d.

Sconto semplice e sconto composto. - Si è detto che il montante si può considerare come una somma S dovuta tra n anni e il capitale iniziale C come il valore attuale di quella somma. Ne segue che, nel caso dell'interesse semplice, si ha

e, in corrispondenza, si ha lo sconto semplice dato da

In pratica, nelle operazioni commerciali, lo sconto si calcola in base al tasso di sconto d, facendo il prodotto Sdn. Questo modo di calcolo coincide con il precedente per n = 1, ma può riuscire assurdo per n > 1, poiché può dar luogo a uno sconto cosi grande da superare la somma S; di fatto quella regola si usa ordinariamente per periodi di tempo non superiori all'anno. Se si considera l'interesse composto, secondoché il tasso dell'interesse è effettivo o nominale, o è la forza d'interesse δ, il valore attuale della somma S è dato rispettivamente da

e in corrispondenza si ha lo sconto composto dato rispettivamente da

Adoperando il saggio di sconto d, lo sconto composto risulta espresso dalla formula

Annualità. - Un'annualità costante è una somma assegnata pagabile annualmente per un determinato numero di anni. L'annualità è anticipata se è pagabile al principio dell'anno, è posticipata se è pagabile alla fine dell'anno. Ogni annualità può essere frazionata in un numero p di rate eguali pagabili al principio o alla fine di ciascuno dei p intervalli eguali di tempo in cui è diviso l'anno. In questo caso si hanno delle periodicità (ad es. trimestralità, semestralità, ecc.) costanti anticipate o posticipate.

Quando il primo anno in cui è pagata l'annualità, o il primo p^mo di anno in cui è pagata la periodicità, ha inizio dopo t anni, allora si hanno annualità o periodicità (anticipate o posticipate) differite di t anni.

Valore attuale di annualità o periodicità. - Il valore attuale di annualità è la somma dei valori attuali delle singole annualità. Se si usa l'interesse semplice per calcolare quei valori attuali, il valore attuale di n annualità unitarie posticipate è dato da

Se si usa l'interesse composto al tasso effettivo i, il valore attuale di n annualità unitarie posticipate è dato da

Se, usando l'interesse composto al tasso effettivo i, ciascuna annualità è frazionata in p rate eguali posticipate, il valore attuale delle np periodicità è espresso dalla formula

dove

è il tasso nominale d'interesse capitalizzabile p volte all'anno, equivalente al tasso effettivo i. Se p tende all'infinito si ha l'annualità continua; il valore attuale al tasso i dell'annualità continua di durata n anni è espresso dalla formula

dove δ = log (1 + i) è la forza d'interesse equivalente al tasso i. Se le annualità sono posticipate e crescenti come i numeri1, 2, ..., n, il loro valore attuale al tasso i è espresso dalla formula

Se la prima annualità posticipata è differita di t anni, i valori precedenti vanno scontati per t anni, moltiplicandoli per (1 + i)^-1.

Montante di annualità o periodicità. - In base all'interesse semplice, il montante di n annualità unitarie posticipate è espresso da

In base all'interesse composto, il montante di n annualità unitarie o delle corrispondenti np periodicità posticipate si ottiene capitalizzando per n anni il relativo valore attuale, cioè moltiplicando tale valore attuale per (i + i)ⁿ.

Le formule precedenti permettono di determinare senza difficoltà il numero delle annualità o periodicità o il differimento, quando siano noti gli altri elementi che in esse compariscono.

Determinazione del tasso d'interesse essendo dato il valore attuale o il montante di n annualità posticipate unitarie. - Un procedimento approssimato, abbastanza semplice, e sufficiente per le applicazioni correnti, è il seguente. Supponiamo sia dato il valore attuale a. Con l'aiuto d'una tavola di valori attuali si cerchi il valore a′ più vicino ad a e sia i′ il tasso corrispondente: allora il saggio incognito si può esprimere con i = i′ + δ dove ρ è una correzione che si può calcolare approssimativamente con la formula

in cui v = (1 + i′)^-1.

Se è dato il montante s di n annualità unitarie posticipate, procede allo stesso modo calcolando la correzione approssimativamente con la formula

(s′ valore tabellare più vicino a s e i′ tasso corrispondente a s′).

Ammortamenti. - Si chiama ammortamento l'operazione avente per scopo l'estinzione d'un debito. I metodi d'ammortamento più usati sono i seguenti:

a) Metodo d'ammortamento progressivo. - Il debitore paga al creditore per n anni consecutivi un'annualità posticipata il cui importo è C/a−n∣ e C è il debito da ammortizzare al tasso i. La prima annualità si scompone in due quote: una è data in pagamento degli interessi prodotti dal debito C nel primo anno (quota d'interessi); l'altra (quota d'ammortamento) è data a parziale rimborso del debito, il quale perciò, alla fine del primo anno, si riduce a un importo minore. La seconda annualità si scompone pure in due quote, ma diverse dalle precedenti: una serve a pagare gl'interessi del secondo anno sul debito residuo, l'altra è data a parziale ammortamento di questo debito, ecc. Un piano d'ammortamento mostra come si scompone ciascuna annualità nelle due quote di interessi e d'ammortamento e fornisce il debito residuo a fine di ogni anno. Mentre le annualità sono costanti, le quote d'ammortamento sono crescenti (in progressione geometrica) e, per conseguenza, sono decrescenti le quote d'interessi; il residuo debito decresce sino a ridursi a zero alla fine degli n anni.

b) Metodo del "sinking fund". - Secondo questo metodo l'annualità C/a−n∣ è divisa in due quote costanti. Una è l'interesse di un anno sul capitale C e viene corrisposta alla fine di ogni anno al creditore, l'altra quota, detta sinking fund, può essere impiegata dal debitore per suo conto ed è tale che al tasso d'interesse i ricostituisce il capitale C alla fine degli n anni. La quota d'interesse è perciò iC all'anno e il sinking fund C (1/a−n∣ − i), o anche C/s−n∣ all'anno.

In pratica il debitore può trovare difficoltà a investire il "sinking fund" allo stesso tasso i che garantisce al suo creditore, e lo investirà di solito a un tasso minore i′. In tal caso il "sinking fund" sarà dato da C/s′−n∣, in cui s′−n∣ è calcolato al saggio i′, e l'annualità da destinare al servizio del debito non sarà più C/a−n∣ ma C(i + 1/s′−n∣). Si ha in questo caso l'ammortamento a due tassi d'interesse.

Ammortamento di un prestito Contratto mediante emissione di obbligazioni. - L'ammortamento d'un tale prestito avviene ordinariamente mediante estrazioni a sorte. Si supponga un'emissione di N obbligazioni da 500 lire ciascuna. Il prestito iniziale totale 500 N viene ammortizzato col metodo progressivo nel modo seguente. Provvisoriamente si determina l'annualità costante 500 N/a−n∣ a" come nel caso di un prestito non diviso in obbligazioni e ogni anno si determinano le solite quote d'interessi e d'ammortamento. La quota d'ammortamento da destinare ogni anno al servizio del prestito dev'essere multipla di 500, perché deve potere estinguere un numero intero di obbligazioni da estrarre a sorte; perciò essa differirà dalla quota d'ammortamento provvisoria suddetta per meno di 250 lire in difetto o in eccesso. Ne segue che anche la quota d'interessi, dovendo riferirsi a un numero intero di obbligazioni in circolazione, non coinciderà sempre con la quota d'interessi provvisoria di cui sopra e l'annualità risultante dalla somma delle due quote non sarà esattamente 500 N/a−n∣ ma oscillerà intorno a questa annualità costante. Per tener conto di queste necessità pratiche, la costruzione di un piano d'ammortamento relativo a un prestito diviso in obbligazioni richiede particolari accorgimenti.

Un'espressione generale degli ammortamenti. - Sia stipulato un prestito C₀ al saggio i e siano k₁, k₂, ..., k_n le n quote d'ammortamento dovute alla fine del 1°, 2°, ..., n° anno rispettivamente. I numeri k₁, k₂, ..., k_n sono positivi qualunque e soddisfano solo alla condizione k₁, + k₂ + ... + k_n = C₀. Il debito residuo dopo pagate r annualità sarà C_r = k_r+1 + k_r+2 + ... + k_n e per conseguenza la (r + 1)^esima annualità sarà formata con una quota d'interessi iC_r, e con una quota d'ammortamento k_r+1. Si hanno così tutli gli elementi per costruire il piano d'ammortamento in questo caso generale.

Debiti redimibili e consolidati. - Un debito redimibile dia diritto ai creditori a incassare interessi al tasso i e rimborsi di capitale, alla fine di ciascun anno e per un certo numero di anni. Si chiede il valore d'acquisto A di questi crediti al principio di un dato anno in modo che l'acquirente abbia a investire il suo denaro al tasso effettivo i₀. Sia K il valore attuale al tasso i₀ delle quote di capitale che restano da rimborsare al momento dell'acquisto e C l'ammontare complessivo di queste quote; il valore d'acquisto richiesto risulta espresso da

Inversamente, il tasso di rendimento di chi spende la somma A per acquistare i crediti sopra indicati è ricavabile per mezzo dell'equazione

Il calcolo di i₀ si effettuerà per approssimazioni successive, poiché K dipende da i₀. Se un debito rimborsabile annualmente porta interessi pagabili semestralmente al tasso nominale annuo j₍₂₎ si determinerà

e valgono le formule precedenti in cui i è sostituito con i₁.

Se un debito d'ammontare iniziale C porta interessi al tasso i ed è ammortizzabile con n annualità costanti posticipate, il valore d'acquisto immediatamente dopo pagate m annualità è dato più semplicemente da

dove a−n∣_i rappresenta il valore attuale di n annualità unitarie posticipate al tasso i e analogo significato ha a−n−-−m∣_i0. Se il debito è consolidato,

Le considerazioni di quest'ultimo paragrafo, con le modificazioni opportune, si possono applicare alla trattazione dei corrispondenti problemi relativi a un prestito contratto con emissione di obbligazioni.

Bibl.: H. Charlon, Théorie mathématique des opérations financières, Parigi 1887; L. Marie, Traité mathématique et pratique des opérations financières, Parigi 1890; G. King, The theory of finance, Londra 1898; S. Ortu-Carboni, Trattato di matematica finanziaria, Milano 1916; A. Barriol, Théorie et pratique des opérations financières, Parigi 1916; G. Santacroce, Matematica finanziaria, Milano 1929; C. A. Dell'Agnola, Matematica finanziaria, Venezia 1930; R. Todhunter, Institute of Actuaries Text Book, parte 1ª: Compound Interest and annuities-certain, Londra 1931.