Matematica

Matematica

Nei Paesi industrializzati (Cina e India comprese) la m. è generalmente considerata una delle scienze trainanti, ossia di importanza strategica per le società a forte base tecnologica. C'è da chiedersi allora perché in molti Paesi occidentali la m. soffre di un grave problema di immagine. Le lauree matematiche attirano un numero sempre minore di studenti (sono considerate troppo difficili? Qualcuno ritiene che servano 'soltanto' per diventare insegnante di m. presso una scuola media superiore? O forse non si sa bene che cosa sia veramente la m. e a che cosa serva?). Spesso la m. viene identificata con quella materia 'difficile e noiosa' insegnata nelle scuole superiori. Diverse persone adulte dichiarano volentieri , quasi con orgoglio, di non aver mai capito nulla di matematica. Nell'immaginario collettivo si pensa agli aspetti eccentrici del 'matematico geniale', ma quasi mai si entra nel merito della ricerca matematica.

Il problema di fondo è la difficoltà oggettiva di 'raccontare' la ricerca matematica. Parlare di una teoria, un metodo o un algoritmo matematico a livello divulgativo è effettivamente più difficile che parlare dei problemi, spesso di grande fascino, studiati dai biologi o dai fisici. Si intuisce però il ruolo strategico della m. quando si cominciano a considerare alcune delle sue applicazioni. Senza la m. un motore di ricerca sofisticato come Google non esisterebbe; per il medico è cruciale potersi fidare di una diagnosi non invasiva sulla base, per es., della TAC (Tomografia Assiale Computerizzata), ma senza la m. sarebbe impossibile ricostruire e analizzare le immagini biomediche. Per ottimizzare le consegne dei corrieri postali, le aziende leader del campo utilizzano algoritmi matematici sofisticati. Sarebbe facile elencare migliaia di ulteriori esempi ampiamente significativi riguardo all'utilità quotidiana della matematica. Si potrebbe contestare che nella maggior parte dei casi le applicazioni della m. sono basati su tecniche e su metodi esistenti, già ben conosciuti da molto tempo, e che non hanno bisogno di ricerche innovative: le cose non stanno assolutamente così, ma per comprenderlo bisogna fornire un minimo di spiegazione su come funzioni la ricerca matematica.

La m. è un campo di ricerca ampio e dinamico. Si presentano in continuazione nuovi problemi che richiedono soluzioni innovative e perciò le teorie matematiche sono in continua evoluzione. Nascono nuove branche della m., come, per es., negli anni Settanta del 20° sec. la teoria delle wavelets, con molteplici applicazioni, quali la compressione e l'analisi di segnali (sismici, medici ecc.) e di immagini, o la rimozione del rumore. Nel 2002 si è ottenuto un importante riconoscimento del ruolo scientifico della m., quando il governo norvegese ha istituito il premio Abel. Il prestigioso premio, fondato duecento anni dopo la morte dell'illustre matematico norvegese N.H. Abel, si inserisce a pieno titolo nella tradizione dei premi Nobel della Svezia e della Norvegia, nei quali non è previsto quello per la matematica. Ogni anno è assegnato dall'Accademia norvegese di Scienze e Lettere: finora il premio è stato conferito a J.-P. Serre (2003), M.F. Atiyah e I.M. Singer (2004), P.D. Lax (2005) e L. Carleson (2006).

La ricerca matematica è un'attività vivace, quindi tutt'altro che noiosa: coinvolge migliaia di scienziati che lavorano con passione e che vivono l'emozione di nuove scoperte, più o meno sorprendenti, e spesso formulate come congetture prima di trovarne una dimostrazione rigorosa. Per non parlare degli aspetti quali eleganza e bellezza di un nuovo risultato o di una nuova dimostrazione, che creano al ricercatore matematico un senso di soddisfazione difficile da trasmettere ad altri. Per comprendere la dimensione del lavoro di ricerca che si compie in m., si consideri che uno dei più completi archivi matematici, il Zentralblatt MATH, ha registrato in tutto il mondo una media di circa 64.000 articoli l'anno su riviste specialistiche nel periodo 2000-2004, contro i 2500 nel periodo 1900-1904, e i 12.000 tra il 1930 e il 1934, testimoniando così un'enorme crescita non solo qualitativa, ma anche strettamente quantitativa del settore. A questi si devono aggiungere un crescente numero di convegni, progetti nazionali e internazionali e collaborazioni tra m. e industria, che costituiscono una parte non secondaria del lavoro del ricercatore.

L'elemento più noto nella m. è senz'altro il suo altissimo livello di astrazione, una caratteristica che allo stesso momento è alla base della sua potenza applicativa. Per es., è sicuramente possibile descrivere fenomeni atmosferici anche molto complessi senza ricorrere a formule matematiche complicate, ma quando però occorre una previsione affidabile del tempo nei prossimi cinque giorni una formulazione 'astratta' è di importanza cruciale per ottenere risultati quantitativi. Lo stesso esempio mette subito in luce un elemento importante che ha accresciuto la potenza applicativa della m.: la disponibilità di mezzi di calcolo sempre più potenti. Non a caso l'analisi numerica, vale a dire la disciplina che studia come meglio approssimare la soluzione di problemi matematici con l'aiuto dei computer, è diventata un campo importante della m. moderna. Lo sviluppo di algoritmi numerici sempre più efficaci e concetti quali complessità computazionale, una misura per il tempo richiesto per un'approssimazione accurata di una soluzione, sono di grande importanza per l'utilità applicativa della m., e teorie come l'algebra lineare computazionale forniscono tecniche matematiche atte a risolvere difficili problemi computazionali in molteplici ambiti applicativi.

L'alto livello di astrazione rende la m. estremamente versatile: spesso le stesse tecniche matematiche possono essere utilizzate in ambiti applicativi completamente diversi e non è raro che lo stesso ricercatore si occupi di applicazioni distinte. Nel 2003 il matematico italiano A. Quarteroni e i suoi collaboratori hanno utilizzato le stesse formule che servono per la previsione del tempo, note come le equazioni di Navier-Stokes, o le loro semplificazioni, per ottimizzare le prestazioni della barca svizzera Alinghi, poi vincitrice della Coppa America. In questo caso è stato sviluppato un modello matematico per descrivere il moto della barca, inserendovi informazioni quali la sua forma e le condizioni atmosferiche e del mare, per poi utilizzare alcuni metodi avanzati dell'analisi numerica allo scopo di simularne al calcolatore le prestazioni. Inoltre occorre notare che lo stesso Quarteroni utilizza tecniche matematicamente simili in un contesto applicativo del tutto diverso, ossia nello studio del flusso sanguigno al fine di simulare il sistema circolatorio umano. Per il matematico questi problemi risultano simili, per uno sperimentatore sicuramente non lo sono.

Vale la pena approfondire ulteriormente l'esempio di Alinghi, individuando alcune parole chiave che risulteranno essere caratterizzanti per una vasta classe di applicazioni della m. moderna: modellistica matematica, simulazione numerica, ottimizzazione, sistema complesso, parametri e così via. Nel caso di Alinghi il sistema complesso è la dinamica del mare e dell'atmosfera e le loro interazioni con la barca a vela, la modellistica matematica studia il problema di come descrivere il sistema complesso in termini matematici, i parametri del problema sono sia i dati puramente esterni, come, per fare un esempio, la temperatura dell'acqua o dell'aria, sia le quantità variabili che si cerca di ottimizzare, date le condizioni esterne, come, per fare un altro esempio, quelle che descrivono la forma della vela; la simulazione al computer è il passo decisivo che porta alle scelte ottimali prima e durante la gara.

Ci si può chiedere quali siano i vantaggi di questo tipo di approccio matematico. È immediatamente evidente il basso livello dei costi in confronto a possibili metodi sperimentali. Ovviamente il vero costo deve essere messo in relazione con la qualità del prodotto finale, ma i moderni mezzi di calcolo, i metodi sofisticati che sono utilizzati e, da non dimenticare infine, l'affidabilità intrinseca del metodo matematico, sono in grado di garantire un aumento continuo della qualità del prodotto matematico. Si potrebbe dire che da secoli la m. è riconosciuta utile come linguaggio universale per descrivere i processi in natura, in particolare nella fisica, ma gli sviluppi registrati a partire dalla metà del secolo scorso hanno denotato sempre più la m. come la scienza quantitativa per eccellenza.

Un'altra caratteristica importante del metodo matematico è la sua flessibilità: una volta che siano stati sviluppati il modello matematico, la sua implementazione per la simulazione numerica e, eventualmente, il metodo di ottimizzazione, occorre poco per adattare il sistema a una circostanza non prevista oppure a un'esigenza nuova. In particolare non bisogna rivedere un'intera impostazione sperimentale, assai spesso costosissima, di una prova in laboratorio o sul campo. Si ricorda che la flessibilità è una proprietà sempre più richiesta dalla nostra società, caratterizzata da sviluppi e da cambiamenti sempre più veloci nel tempo. Nuove tecnologie si susseguono in tempi molto rapidi e, per rimanere competitiva, l'industria manifatturiera concentra una parte via via più consistente delle sue attività nella progettazione di nuovi prodotti. Nel mondo delle applicazioni sono molti i sistemi complessi che si prestano a un approccio matematico; è stato già menzionato il sistema circolatorio umano, un altro esempio sono i mercati finanziari. La m. viene utilizzata per definire il prezzo 'giusto' di prodotti finanziari sempre maggiormente sofisticati come opzioni, più o meno esotiche;per determinare i portafogli ottimali (azioni, opzioni, titoli di Stato ecc.) di una società finanziaria, ma anche per quantificare il rischio di operazioni finanziarie, del credito e così via. Alcuni matematici del CNR (Consiglio Nazionale delle Ricerche) collaborano con il Ministero dell'Economia e della Finanza per ottimizzare la gestione del debito pubblico con l'emissione di titoli di stato (BOT, Buoni Ordinari del Tesoro ecc.). È facile intuire le difficoltà che si incontrano quando si cerca di fare previsioni quantitative e affidabili dei mercati finanziari. Non soltanto vi sono le fluttuazioni quotidiane dei prezzi della Borsa, essenzialmente caratterizzate dalla volatilità del mercato che entra nei modelli come uno dei parametri, ma esistono eventi spesso imprevedibili che causano un cambiamento brusco nell'andamento dei prezzi, del tasso di interesse e così via. Ormai la modellistica matematica sa anche tenere conto, almeno parzialmente, di questi fenomeni.

Allo stesso tempo non bisogna credere che la m. fornisca ricette infallibili per descrivere e predire ogni tipo di fenomeno. Infatti, vi sono limiti precisi all'affidabilità dell'approccio matematico. Innanzi tutto non esiste un modello matematico che prenda in considerazione tutti i fattori che influiscono su un dato fenomeno, per es. sul mercato finanziario globale o sull'andamento del tempo atmosferico. Ogni modello matematico è una riproduzione semplificata di un sistema reale, che si basa su una scelta precisa della scala in cui può essere applicato, e che spesso è valida solo in un particolare ambito di riferimento. Si potrebbe descrivere il mercato finanziario in tempo discreto o in tempo continuo, considerando i singoli agenti o l'interazione tra i vari mercati, guardando l'evoluzione del singolo prezzo di un bene o quello di macroindici aggregati, ognuna di queste scelte essendo valida e ragionevole per determinati scopi, ma non per altri. Ciò spiega anche quanto importanti e difficili siano lo sviluppo e la scelta del modello matematico. Per rimanere all'esempio della finanza, il matematico non può prescindere, per elaborare i suoi modelli, da un rapporto di stretta collaborazione con gli esperti del settore, siano essi economisti, traders o analisti quantitativi, per determinare quali siano i fattori principali da prendere in considerazione nel modello finanziario e quali invece siano da trascurare. Ma non sono unicamente le semplificazioni che impongono limiti all'affidabilità del modello matematico: per es., la scelta di utilizzare nel modello un parametro, la volatilità, per descrivere certe fluttuazioni del mercato finanziario, non solo presuppone che sia ragionevole e possibile farlo, ma richiede anche che si debba trovare un valore numerico per tale parametro. Il problema della stima dei parametri nel modello può essere complicatissimo e causa senz'altro ulteriori limiti all'affidabilità del modello matematico.

È importante notare infine che la finanza non è una scienza sperimentale. Anche se questa osservazione dà ancora più rilievo al metodo matematico, crea anche ulteriori ostacoli: non si possono utilizzare prove sperimentali per stimare i valori dei parametri (come la volatilità) dei modelli. L'unico strumento disponibile è costituito dalle analisi dei dati del mercato, sia quelle del passato sia quelle attuali. Infatti per ottenere una buona affidabilità dei calcoli matematici è cruciale avere a disposizione grandi quantità di dati. Ovviamente l'analisi dei dati è un problema che in sé richiede lo sviluppo e l'utilizzo di raffinati metodi matematici e statistici. Non è un caso che in Paesi come Stati Uniti, Francia e Inghilterra le grandi banche e altre istituzioni finanziarie abbiano dato impiego a molti matematici e statistici.

Un altro esempio di sistema complesso è il traffico, non solo il traffico stradale o aereo ma anche quello dei dati, sulle reti telefoniche o sulla rete Internet. Per una gestione ottimale del traffico urbano sarebbe molto utile avere a disposizione un modello matematico affidabile; basti pensare alla gestione dei semafori intelligenti, alla scelta di dove creare corsie preferenziali per i mezzi pubblici o dove inserire rotatorie nella rete stradale e, nel futuro, all'utilizzo di nuove tecnologie che renderanno possibile un controllo molto più sofisticato del traffico, attraverso la navigazione satellitare e la guida assistita. Possibili approcci a un modello di traffico urbano sono i seguenti, di nuovo a seconda degli obiettivi proposti e della scala spazio-temporale considerata: una prima possibilità è un modello in cui si prendano in considerazione tutti gli autoveicoli (il modello si dice in tal caso discreto). Non è difficile scrivere formule ragionevoli per la posizione e la velocità di ogni singola macchina, operando anche qui una semplificazione e trascurando, per es., tutti gli aspetti meccanici e termodinamici del funzionamento dell'automobile, ma anche semplificando al massimo gli stili di guida dei conducenti.

È chiaro che tale modello diventa estremamente complicato nel caso di un gran numero di macchine in circolazione. Infatti allo stato attuale i modelli discreti possono essere utili per descrivere le code davanti a un semaforo, o in semplici porzioni urbane, ma è ancora impensabile utilizzarli con successo se si vuole descrivere il traffico in zone estese di una grande città. Un confronto estremo: per descrivere le correnti nel mare nessuno cercherà di descrivere i movimenti di tutte le molecole dell'acqua; si utilizzano invece le equazioni di Navier-Stokes dopo aver introdotto quantità 'macroscopiche' come pressione e velocità. Anche per il traffico si può ricorrere a un modello continuo, introducendo concetti quali la densità di automobili, ma non va mai dimenticato che il numero di macchine non è minimamente confrontabile con il numero di molecole nell'acqua, ossia è tutto da verificare che un modello continuo per il traffico sia sufficientemente affidabile, e principalmente sarà necessario determinare l'ambito in cui questo avviene. La questione è tuttora al centro del dibattito scientifico e dipende di nuovo in gran parte dalla scala a cui si vogliono avere predizioni affidabili; per es., per gestire un semaforo o un incrocio in modo efficiente non è necessario conoscere la posizione di ogni singola macchina, ma solo delle medie variabili nel tempo delle macchine in entrata e in uscita dall'incrocio. Non è azzardato prevedere che i modelli affidabili utilizzeranno alcune idee sia dei modelli discreti sia di quelli continui. È certamente una sfida notevole per i matematici, date le differenze molto profonde tra le tecniche usate nella m. discreta e quelle usate nella m. dei continui.

Il caso del traffico non è isolato: la descrizione quantitativa di sistemi complessi porta spesso a problemi solo parzialmente risolti. Alcuni sono conosciuti da molto tempo, come, per es., la simulazione di processi turbolenti nell'atmosfera o nell'acqua. In questo caso le equazioni di base sono ben note (le equazioni di Navier Stokes), ma la complessità del sistema è tale che anche i più potenti calcolatori a disposizione non permettono una simulazione dettagliata di tali fenomeni. Per non parlare di sistemi ancora più complessi come la combustione turbolenta, dove la descrizione del processo è notevolmente complicata dalla presenza di fenomeni chimici molto complessi. In questi casi esistono vari modelli 'ingegneristici' approssimati, la cui affidabilità, però, è di frequente discutibile. Tutto ciò non vuole dire che la m. non sia riuscita a dare importanti contributi, per es., alla descrizione di fenomeni turbolenti. Anzi, il contributo finora più importante è stato dato da un matematico russo, A.N. Kolmogorov, negli anni Trenta del secolo scorso. Per comprendere meglio la ricaduta concreta di tutti questi problemi, si pensi che nel 2005 un gruppo di matematici dell'Università di California a Berkeley ha tentato di descrivere, sulla base di uno studio precedente a opera di J. Lighthill, il meccanismo delle tremende accelerazioni del vento quando gli uragani e cicloni tropicali attraversano gli oceani. In conclusione del loro articolo c'è una brevissima nota con un notevole suggerimento pratico, da approfondire e da verificare, su come diminuire la potenza devastante di un uragano prima dell'arrivo sulle coste continentali: "Potrebbe essere possibile prevenire o attenuare l'effetto degli uragani, avendo degli aeroplani che rilascino qualche innocuo agente tensioattivo a decadimento rapido sulla superficie del mare" (Barenblatt, Chorin, Prostokishin 2005).

Con quest'ultimo esempio si tocca un altro aspetto importante ma poco noto: il potenziale contributo - talvolta decisivo - della m. a quelle che si potrebbero definire le grandi sfide. Storicamente la Seconda guerra mondiale ne offre sicuramente gli esempi maggiormmente convincenti. I matematici hanno svolto un ruolo cruciale nel Manhattan Project, nello sviluppo del radar, nella progettazione aerospaziale e anche nella decodifica dei codici segreti, e subito dopo la guerra hanno contribuito in maniera decisiva alla nascita dei primi calcolatori, sia immaginandone la struttura complessiva, sia elaborando e utilizzando in modo originale i primi linguaggi di programmazione. Infatti la ricerca matematica americana e quella inglese hanno attraversato un periodo di grandissimo sviluppo negli anni del dopoguerra e ancora agli inizi del 21° sec. le agenzie governative americane stanziano notevoli finanziamenti a disposizione della ricerca matematica.

Per quanto riguarda le grandi sfide dei nostri tempi, non è azzardato affermare che il 21° sec. sarà quello della biologia. Dal progresso impressionante delle conoscenze biologiche, quali la decodifica del genoma umano e gli sviluppi della proteomica, seguiranno ulteriori sviluppi straordinari in campo biomedico. Quale sarà il ruolo della m.? Un primo problema è dato dal fatto che medici e biologi da soli non riescono a comprendere e manipolare la quantità enorme di dati che hanno a disposizione. È già nata una nuova scienza, la bioinformatica, per mettere ordine nei dati. Tuttavia, la vera sfida dell'era postgenomica è utilizzare i dati per 'fare sistema': per sfruttare al massimo i dati del genoma servono modelli che descrivano i processi biologici fondamentali e che siano compatibili con i dati trovati, e a questa branca della biologia, la biologia dei sistemi, la m. può fornire un contributo assolutamente decisivo, descrivendo e quantificando fenomeni come la trasmissione dei segnali biologici, di quelli chimici ed elettrici, la comprensione della morfogenesi, fino allo sviluppo vero e proprio degli organi. Si tratta di una sfida del prossimo futuro e sarà compito specifico del matematico rivolgersi al biologo, collaborare con lui nonché convincerlo della straordinaria potenzialità della modellistica matematica e computazionale.

Non è difficile prevedere i possibili frutti di tale collaborazione, basti pensare allo sviluppo di nuovi farmaci, all'ingegneria di tessuti biologici, all'utilizzo di cellule staminali nella riparazione e rigenerazione dei tessuti biologici o all'ottimizzazione di terapie. Per quanto riguarda l'ultimo esempio, si pensi semplicemente che per ovvi motivi etici non è possibile sperimentare tutte le varianti di un'immunoterapia su un ammalato di tumore, ma se si sviluppa un modello matematico affidabile si possono simulare tali terapie al calcolatore, per trovare i dosaggi ottimali da somministrare al singolo paziente, in funzione della sua risposta fisiologica. Una particolarità delle applicazioni biologiche è l'estrema importanza delle diverse scale spaziali e temporali. I processi a livello subcellulare o addirittura genico, hanno una scala del tutto diversa di quelli a livello cellulare o a livello tissutale, ma nello stesso tempo i vari processi risultano interconnessi. Tipicamente le tecniche matematiche utilizzate dipendono molto dalla scala spaziale, perciò è importante sviluppare metodi che consentano l'utilizzo contemporaneo di tecniche del tutto diverse quali automi cellulari, random walk, modelli particellari, teorie cinetiche, equazioni differenziali non lineari, metodi statistici o reti neurali.

Ovviamente gli aspetti descritti costituiscono una piccolissima parte delle attività di ricerca in ambito matematico (persino se ci si limita alla m. applicata). Per es., il termine ottimizzazione, utilizzato in precedenza solo superficialmente, in realtà nasconde una branca della m. che contiene intere teorie come la programmazione lineare. Non si è parlato del calcolo delle variazioni, una teoria di forte impatto applicativo con contributi particolarmente significativi da parte di matematici italiani. Un altro importante settore è quello della teoria del controllo, la branca della m. che si occupa di come governare un sistema dinamico per raggiungere una finalità assegnata. Si pensi, per es., al controllo dei movimenti di un robot. Non a caso la teoria del controllo risulta fondamentale tanto in ambito economico quanto in ambito industriale, quando si vogliano costruire macchine con sempre maggiore intelligenza.

Di grande importanza sarà inoltre il suo ruolo in biologia e medicina, quando si desideri comprendere complessi processi fisiologici e biologici. Le sfide matematiche non mancano nella teoria del controllo. Come si fa, per es., a controllare con efficacia sistemi costituiti da molti agenti parzialmente o totalmente autonomi, che possono interagire tra di loro in collaborazione, in competizione o con scopi indipendenti? Si ponga attenzione, per es., ai possibili futuri sistemi di guida assistita per il traffico stradale: il problema di come far emergere da un tale sistema complesso un comportamento complessivo sicuro costituisce una delle grandi sfide aperte per la teoria del controllo.

bibliografia

Mathematics unlimited - 2001 and beyond, ed. B. Engquist, W. Schmid, Berlin-New York 2001; G.I. Barenblatt, A.J. Chorin, V.M. Prostokishin, A note concerning the Lighthill "sandwich model" of tropical cyclones, in The Proceedings of the National Academy of Science of the United States of America, 2005, 102, 32, pp. 11.148-50.