MATEMATICA

MATEMATICA (XXII, p. 547; App. II, 11, p. 276; III, 11, p. 44)

Non è intento di quest'articolo di riferire analiticamente sui progressi realizzati nei vari rami della m. nell'ultimo quindicennio (per i quali si rinvia senz'altro alle voci dei singoli rami della m. in questa App.), bensì di dare una sintetica idea delle principali caratteristiche generali di tali sviluppi, in forma quanto più possibile facilmente comprensibile.

Vere nuove tendenze non sembrano essersi determinate nella più recente m., ma si sono accentuate alcune tendenze già prima delineate e, anzitutto, l'enorme aumento quantitativo dei lavori pubblicati, tanto che nel 1967 (centro del periodo di tempo da considerarsi) le Mathematical reviews - una rivista bibliografica che pubblica recensioni di gran parte dei lavori matematici mondiali - presero in esame ben 17.141 titoli, con un numero di lavori pubblicati nell'intero quindicennio dell'ordine delle centinaia di migliaia.

Questo enorme aumento del volume della produzione matematica crea problemi di difficile, anzi quasi impossibile risoluzione. Anzitutto la pratica impossibilità di mantenersi aggiornati anche in un limitato settore della m., per es., in quello delle equazioni differenziali, ché - anche prescindendo dalle difficoltà linguistiche e di procurarsi il materiale necessario - si richiederebbe una così prolungata applicazione che poi mancherebbe il tempo per utilizzare le cognizioni acquisite. In secondo luogo è da considerare il fatto che è divenuto praticamente impossibile informarsi in modo non troppo lacunoso dei precedenti di una certa questione e se una certa cosa è o non è già nota.

A questi inconvenienti pongono parzialmente rimedio i sempre più frequenti simposi e congressi particolari, quali quelli che periodicamente si tengono presso il mathematisches Forschungsinstitut di Oberwolfach (Rep. Fed. di Germania) e presso l'Istituto di Alta Matematica di Roma. Invece non servono più molto i grandi congressi generali, quali quelli internazionali che si tengono ogni quattro anni (gli ultimi: Stoccolma 1962, Mosca 1966, Nizza 1970, Vancouver 1974) che, per la loro mastodonticità, non servono più nemmeno a procurare utili contatti fra studiosi affini dei vari paesi, che in passato erano una delle cose più utili da essi mediate.

Volendo dare una sintetica idea dell'attuale situazione delle varie branche della m., s'incontra una prima difficoltà nel fatto che certe tradizionali classificazioni vanno sempre più perdendo di significato. Per es., oggi nessuno sa più dire cosa debba precisamente indendersi per "geometria", perché i suoi filoni tradizionali si sono pressoché inariditi, nonostante che uno dei maggiori risultati raggiunti dalla m. negli ultimi tre lustri sia la dimostrazione della possibilità dello scioglimento delle singolarità nelle varietà algebriche a più di due dimensioni (ad opera del giapponese H. Hironaka), cioè della possibilità di renderle innocue con opportune trasformazioni geometriche. Questa è però quasi un'eccezione, perché oggi la maggioranza dei lavori che sogliono considerarsi come geometrici, riguardano la topologia, che, pur essendo nata (col nome di analysis situs) al principio del secolo dallo studio di fatti del tutto intuitivi - per es., l'impossibilità di trasformgre con continuità e senza lacerazioni una sfera di materiale flessibile in una ciambella - si occupa ora di cose così lontane dalla comune intuizione che solo gli specialisti del ramo possono comprenderne e apprezzarne i problemi. E lo stesso può dirsi della geometria differenziale, pur essa nata da problemi facilmente comprensibili, quali la costruzione delle carte geografiche e i rilievi geodetici.

Gli ex-geometri oggi si sono per lo più trasformati in cultori di algebra, ma di un'algebra piuttosto lontana da quella tradizionale, che non opera più soltanto su numeri, ma su enti astratti, su cui si fanno le minime ipotesi possibili onde accrescere la portata dei risultati raggiunti. Di essa è parte importante la teoria dei gruppi che i non matematici possono intendere come lo studio delle palesi e recondite simmetrie della decorazione di una parete o di un reticolo cristallino. Essa ha però avuto importanti applicazioni anche in cose apparentemente lontane, quali la risoluzione algebrica delle equazioni e la non ancora soddisfacentemente sistemata teoria delle cosiddette particelle elementari della fisica atomica.

Quest'algebra astratta va sempre più intrecciandosi con le altre parti della m., sì che oggi si parla dell'avvenuta algebrizzazione della m., nel senso che in quasi tutti i rami di essa sono stati identificati dei substrati algebrici che meglio ne chiariscono l'intima struttura con la connessa teoria delle categorie e dei funtori di cui non è possibile dare in breve un'idea a chi non è della partita.

Quanto agli argomenti che sogliono tradizionalmente considerarsi come pertinenti all'Analisi: teoria delle funzioni, equazioni differenziali, ecc., essi hanno conservato la loro antica posizione centrale nella m. perché direttamente o indirettamente legati a problemi basilari di filosofia naturale meno influenzabili dalle mode del momento. Tuttavia si nota un certo cambiamento di orientamenti, soprattutto nel senso che vengono sempre più poste in primo piano le classi (o spazi) funzionali a cui si suppongono appartenere i dati e in cui si cercano le soluzioni, con conseguenti cambiamenti di linguaggio, che tende a divenire sempre più tecnico e astruso, sì che talvolta non è facilmente inteso fuori di una ristretta cerchia di specialisti del ramo. Inoltre si risente sempre più l'influenza dei moderni calcolatori elettronici, che non sono più privilegio di pochi grandi istituti ma, grazie alla cronoripartizione (time-sharing), sono ora accessibili anche a modesti istituti dotati di un terminale collegato a un lontano, potente centro di calcolo. Questo influisce anche sull'analisi pura, sia col rendere praticamente utili anche procedimenti di calcolo solo lentamente convergenti, sia con lo sminuire l'interesse di metodi per ottenere la soluzione di un problema mediante funzioni di cui esistano buone tavole numeriche. Si è però anche determinata una non lodevole tendenza a portare al calcolatore problemi ancora, per così dire, allo stato bruto, mentre prima la loro necessaria elaborazione per renderli accessibili agli antichi mezzi di calcolo numerico, giovava anche a una loro più approfondita comprensione.

Ancor più che nell'analisi pura l'influenza dei moderni calcolatori elettronici si avverte, com'è naturale, nella m. applicata, soprattutto in connessione col fatto che queste moderne macchine non sono più solo dei calcolatori ma degli elaboratori elettronici, capaci di eseguire anche operazioni logiche complicate, quali l'estrarre, da una gran massa di dati statistici, pochi significativi indici atti, per es., a dare un'idea della situazione finanziaria di una grande azienda. Questo ha dato origine, ai margini della m., a tutta una nuova scienza, detta da noi "informatica", che, oltre a occuparsi della struttura degli elaboratori elettronici e dei "linguaggi operativi" per comunicare con essi, si occupa della "teoria dell'informazione" accentrata sul concetto di quantità d'informazione contenuta in un messaggio, che trova anche applicazioni nella teoria delle comunicazioni elettriche, radiotelegrafiche, ecc.

Questo dell'informatica è uno degli esempi, ma non il solo, di nuove discipline che stanno formandosi (o tentano di formarsi) ai margini della m. per utilizzarne l'antico prestigio. Un altro è quello della cosiddetta "scienza dei sistemi" che vuol essere uno studio delle relazioni fra i sub-sistemi in cui può scindersi una grande organizzazione, per es., una grande azienda industriale, ma finora l'effettivo apporto della m. a essa è stato assai tenue.

Quanto ultimamente si è detto pone in luce un'altra delle caratteristiche della moderna m. e cioè l'estendersi delle sue applicazioni ben oltre i tradizionali campi della fisica e dell'ingegneria, raggiungendo anche le scienze biologiche e perfino campi, come la linguistica, che fino a poco tempo fa erano esclusivo dominio di studiosi con preparazione umanistica. Questo è dovuto anzitutto al fatto che, mano a mano che una disciplina si evolve, crescono in essa i problemi suscettibili di trattazione matematica e, d'altro canto, al sempre più largo impiego di concetti statistico-probabilistici che hanno permesso alla m. di uscire dal campo, che sembrava solo suo, delle cose "matematicamente sicure". Si aggiunga anche qui l'influenza dei moderni elaboratori elettronici, che consentono di eseguire in breve tempo statistiche che in altri tempi non avremmo avuto mai il coraggio di progettare.

Tali fatti nuovi hanno avuto come pratica conseguenza che, mentre in passato i matematici trovavano impiego solo nell'insegnamento e in connesse attività di ricerca, ora molti trovano impiego nell'industria, nelle grandi aziende pubbliche, ecc., e anzi negli Stati Uniti il numero di questi ultimi supera già quello dei matematici occupati nell'insegnamento. E ciò crea dei nuovi problemi di mutua comprensione fra matematici e non-matematici, aggravati dal fatto che, in molti paesi, la cultura matematica dei non-matematicì è assai scarsa e dà spesso un'idea del tutto distorta di quel che la m. effettivamente è. D'altra parte i matematici poco o nulla si curano di rendersi facilmente comprensibili, quando addirittura non si compiacciono di usare un linguaggio incomprensibile ai non iniziati.

Per queste e altre considerazioni in questi ultimi lustri si sono avute molteplici iniziative tendenti a rinnovare i tradizionali contenuti dell'insegnamento matematico nelle scuole, ma finora esse, non solo in Italia, non hanno avuto molto successo perché, essendosene impadroniti degli estremisti che hanno esagerato nelle critiche ("Abbasso Euclide!"), hanno provocato la giusta reazione di quanti temevano inconsulti sconvolgimenti. Tuttavia alcune innovazioni vanno mano a mano diffondendosi, per es., l'introduzione del concetto d'insieme fin dai primordi dell'insegnamento e una cauta introduzione del classico "programma di Erlangen" in geometria elementare, distinguendo le proprietà metriche da quelle affini, ecc. Correlativamente nell'insegnamento superiore si va affacciando una, didatticamente discutibile, tendenza all'"assiomatizzazione" dei vari capitoli della m., cioè all'esposizione rigidamente logica di essi, partendo da un gruppo di postulati apparentemente arbitrari, ciò che può dar luogo a fenomeni "di rigetto" da parte dei discenti, con conseguente antipatia per la matematica. E così pure l'abuso dell'astrazione, che è cosa sana e utile a posteriori, allorché si pongono in evidenza i caratteri comuni di più teorie già singolarmente apprese, con conseguente possibilità di una loro trattazione unitaria, ma è controproducente a priori, conducendo a imporre autoritariamente ai discenti una serie di definizioni e postulati di cui essi, nel momento, non possono capire l'importanza e l'origine.

Bibl.: The mathematical sciences. A collection of essays, Cambridge, Mass. 1969 (trad. it. Bologna 1974); Mathematiker über Mathematik (a cura di U. Otte), Berlino 1974; Entwicklung der Mathematik in der DDR (a cura di H. Sachs), ivi 1974; Symposia Mathematica (Ist. Naz. di Alta Mat., Roma), voll. 1-21, Londra 1969-77; A. D. Aleksandrov, A. N. Kolmogorov e M. A. Levrent'ev, Le matematiche, Torino 1975; I Ruzsa, Die Begriffswelt der Mathematik, Budapest 1976.