MATRICE

MATRICE

Matematica. - Il significato di questo termine matematico è stato gia indicato a proposito della voce determinanti (v.). Una matrice non è che una tabella di numeri disposti per righe e colonne, come, ad es., le seguenti:

Una matrice si dice di tipo (m, n), se ha m righe e n colonne; essa si dice poi rettangolare o quadrata, secondo che è m ≠ n, o m = n. In quest'ultimo caso il valore comune di m e n si dice l'ordine della matrice.

Se a_ij, è l'elemento secondo cui s'incrociano la riga i^ma e la colonna j^ma di una matrice di tipo (m, n), questa s'indica brevemente scrive ndo

o anche soltanto ∥ a_ij ∥, quando non sia necessario, o sia inutile per dichiarazioni precedenti, indicare in modo esplicito quali siano i valori che debbono essere assunti dagli indici i e j.

Le matrici ∥ a_ij ∥, di tipo (m, n), e ∥ b_ji ∥ di tipo (n, m) si dicono l'una la trasposta dell'altra, se è b_ji = a_ij.

Gli elementi principali di una matrice quadrata ∥ a_ij ∥ sono quelli per ciascuno dei quali è i = j.

Una matrice è nulla, se tutti i suoi elementi sono eguali a zero.

Per qualche tempo le matrici non sono state considerate che come pure tabelle; ma A. Cayley, mostrando, nel 1858, come per le matrici potessero esser definite le operazioni di somma e di prodotto, fece sì che esse diventassero gli elementi di un calcolo; calcolo che, per la sua intrinseca eleganza e le sue molteplici relazioni con svariati campi della matematica (determinanti, sostituzioni lineari e loro gruppi, numeri complessi a quante si vogliono unità, forme algebriche e loro teorie invariantive, teorie vettoriali e tensoriali, ecc.), è diventato oggi un potente mezzo di ricerca.

1. I suoi principi fondamentali sono i seguenti, in ciascuno dei quali è da intendere che gli elementi delle matrici, di cui si parla, e i numeri, che insieme con esse si considerano, appartengano sempre a un medesimo corpo numerico (v. aritmetica: Aritmetica superiore, n. 15).

I. Se A = ∥ a_ij ∥, B = ∥ b_ji ∥, ..., K = ∥ k_ij ∥ sono matrici dello stesso tipo, la loro somma, che si indica con A + B + ... + K, è la matrice ∥ a_ij + b_ij + ... + k_ij ∥.

È allora evidente che la somma di matrici gode delle proprietà commutativa e associativa.

II. Se ρ è un numero e A = ∥ a_ij ∥ (una matrice, prodotto scalare di ρ per A o di A per ρ, da indicare con ρA o Aρ, è la matrice ∥ ρa_ij ∥. Se ρ = − 1, il prodotto scalare di ρ per A, che si indica con − A, si dice pure la matrice opposta di A. Differenza di due matrici A e B dello stesso tipo è la somma di A con l'opposta di B. Essa si indica con A − B.

La somma di due matrici opposte è una matrice nulla.

III. Se A = ∥ a_ij ∥ è una matrice di tipo (m, n) e B = ∥ b_jl ∥ è una matrice di tipo (n, p), si dice prodotto di A per B, e s'indica con AB, la matrice ∥ c_il ∥ di tipo (m, p), per la quale è

Si avverta che se, essendo X una matrice del tipo (m, n), Y è del tipo (n, m), si può parlare tanto del prodotto XY, quanto del prodotto YX; ma non è detto che essi debbano risultare eguali; quando ciò avvenga (e allora è necessario che sia m = n), X e Y si dicono permutabili.

IV. Se A, B,..., K sono matrici di tipo (m, n) e R, S matrici dei tipi (n, p) e (q, m) rispettivamente, è

V. Se A, B, C sono matrici dei tipi rispettivi (m, n), (n, p), (p, q) è

Ciò significa che per i prodotti di matrici vale la proprietà associativa, di guisa che si potrà definire che cosa debba intendersi per prodotto di un numero qualsiasi di matrici (considerate in un ordine determinato).

In particolare, se A è una matrice quadrata, si potranno definire le potenze di A, cioè i prodotti di matrici tutte eguali ad A. Fra questi si indica, al solito, con A^h il prodotto di h matrici eguali ad A.

2. Sia A una matrice quadrata di ordine p, i cui elementi siano numeri di un corpo Γ e sia I la matrice identica in Γ di ordine p, cioè la matrice di tale ordine, per la quale gli elementi principali siano tutti eguali all'unità di Γ e i rimanenti tutti nulli.

Si riconosce che per r ≥ p² esistono certo in Γ dei numeri non tutti nulli λ₀, λ₁, ..., λ_r per i quali risulti

dove il simbolo o sta a indicare la matrice nulla d'ordine p, giacché per le r + 1 incognite λ₀, ..., λ_r il soddisfare alla (1) equivale a dover soddisfare a p² equazioni lineari omogenee. Ma si può domandare se un simile fatto si possa presentare per r 〈 p² e, in caso affermativo, si può chiedere di caratterizzare tutti i polinomî in Γ di una indeterminata x, tali che, detto

uno di essi, si abbia

Ebbene, si dimostra che, se ϕ (x) è il polinomio in Γ di grado minimo, col coefficiente della più alta potenza eguale a 1, per il quale accada che sia ϕ (A) = 0, e se è dato in Γ un qualsiasi polinomio ψ (x), la condizion necessaria e sufficiente perché riesca ψ (A) = 0, si è che ψ (x) sia divisibile per ψ (x).

Quanto al polinomio ϕ (x), esso, per una proposizione fondamentale di G. Frobenius, si determina nel seguente modo. Si supponga che sia A = ∥ a_ij ∥ e si costruisca il determinante

Se θ (x) è il massimo comune divisore dei minori d'ordine p − 1 di questo determinante, di gnisa che g (x) è certo divisibile per θ (x), ed è

χ (x), a meno di un fattore numerico, coincide con ϕ (x).

Da ciò segue, in primo luogo che il grado di ϕ (x) è ≤ p; e, in secondo luogo, che qualunque sia A, è g (A) = 0 (Cayley).

3. Matrici pnrticolari. - Una matrice quadrata si dice simmetrica se coincide con la sua trasposta; emisimmetrica, se coincide con l'opposta della sua trasposta.

Due matrici dello stesso tipo, i cui elementi siano numeri complessi, si dicono coniugate, se i loro elementi corrispondenti sono numeri complessi coniugati.

Una matrice quadrata, a elementi complessi, si dice antisimmetrica o hermitiana, se coincide con la coniugata della sua trasposta; antiemisimmetrica, se è opposta alla coniugata della sua trasposta.

Si supponga che Γ sia il corpo dei numeri complessi e si mantengano per A tutte le notazioni fissate al n. prec. Inoltre, indicato con ā_ij, il numero complesso coniugato di a_ij, si dicano C, C′ e C″ i massimi dei moduli degli a_ij, (a_ij + ā_ij)/2 e (a_ij − ā_ij)/2 rispettivamente. Allora, se σ = α + β √−1 (α, β reali) è una qualsiasi radice dell'equazione g (x) = 0, cioè, come dicesi, una radice caratteristica di A, si ha (teorema di Hirseh):

Di qua segue che: Le radici caratteristiche di una matrice antisimmetrica (in particolare, di una matrice simmetrica a elementi reali), sono tutte reali; mentre le radici caratteristiche di una matrice antiemisimmetrica (in particolare, di una matrice emisimmetrica a elementi reali) sono tutte immaginarie pure.

4. Una matrice di tipo (p, 2p) a elementi complessi si dice riemanniana, se le sue 2p colonne si possono pensare come 2p sistemi di periodi simultanei indipendenti per una funzione abeliana (v. funzione: Funzioni notevoli, n. 48).

Lo studio delle matrici riemanniane, d'importanza fondamentale per parecchie elevate teorie analitiche e geometriche, iniziato da G. Scorza, è stato proseguito da C. Rosati, S. Cherubino, S. Lefsehetz e A. A. Albert.

Bibl.: A. Cayley, A memoir on the theory of matrices, in Phil. Trans., 1858; G. Frobenius, Über lineare Substitutionen und bilineare Formen, in Crelle's Journal, 1878; id., Über vertauschbare Matrizen, in Sitz. der Berliner Akad., 1896; G. Scorza, Algebre e corpi numerici, Messina 1921.