MECCANICA STATISTICA

MECCANICA STATISTICA.

- La meccanica statistica nell’uso moderno. Validazione di equazioni macroscopiche. Problemi lineari: gas di Lorentz. Problemi non lineari: equazioni di Boltzmann e Navier-Stokes. Bibliografia

Il grande progresso tecnologico avutosi alla fine del 20° sec. ha permesso la diffusione di elaboratori di grande potenza di calcolo, sia per l’uso in ambito scientifico o nelle applicazioni industriali, sia per quello personale. La possibilità di compiere rapidamente un grande numero di operazioni, e di poter quindi effettuare più facilmente calcoli riguardanti sistemi complessi, ha aumentato la rilevanza dello studio teorico rigoroso del comportamento dei sistemi con un enorme numero di costituenti e del collegamento che esiste tra la loro descrizione in dettaglio, data dall’evoluzione di ogni singolo costituente, e opportune leggi macroscopiche che ne costituiscono modelli semplificati. All’interno della disciplina nell’ambito della quale questo studio si effettua, la m. s., sono quindi divenuti importanti gli studi matematici che definiscono rigorosamente l’equivalenza tra modelli microscopici e macroscopici di uno stesso sistema, che trovano applicazioni in molti campi della scienza. Grazie anche all’uso di tecniche matematiche sofisticate, all’inizio del 21° sec. è stato possibile ottenere in questo senso rilevanti risultati, sia in negativo sia in positivo.

La meccanica statistica nell’uso moderno. – I progressi in campo tecnologico e scientifico hanno incentivato gli studi in m. s., diffondendone l’uso dal suo originale campo di massima applicazione, lo studio delle proprietà dei gas, ai più svariati soggetti, dalle applicazioni prettamente ingegneristiche alla biologia e alle scienze sociali. All’interesse che la m. s. riveste per la comprensione di base dei fenomeni fisici e per le verifiche di coerenza dei modelli matematici che descrivono la realtà, si è aggiunto quello offerto dalle sue possibili applicazioni nella buona costruzione dei programmi di simulazione per uso scientifico o industriale e nella schematizzazione del funzionamento di macchine di uso comune (inclusi gli elaboratori stessi). Anche per quanto riguarda le applicazioni in campo specialistico, la grande potenza di calcolo ottenibile e le possibilità offerte dalla parallelizzazione, che permettono di effettuare simulazioni numeriche in cui si calcola l’evoluzione di un alto numero di elementi costituenti a costi nettamente inferiori rispetto al passato, in termini temporali ed economici, hanno incrementato l’interesse per lo studio del collegamento tra i sistemi con elevato numero di componenti e i modelli matematici a essi collegati. Infatti, se un modello matematico utilizzato per la descrizione di un sistema è costituito da equazioni non facilmente trattabili numericamente (ne sono un chiaro esempio le equazioni utilizzate in aerodinamica o nella fisica del plasma), può essere talvolta più conveniente simulare il modello tramite l’evoluzione di un sistema di elementi con equazioni di evoluzione più facili da trattare. A sistemi di equazioni alle derivate parziali non semplicemente risolubili, spesso completati da condizioni aggiuntive (per es., condizioni al contorno) che ne complicano ulteriormente la soluzione su elaboratore, facendo opportune ipotesi e approssimazioni, possono essere associati sistemi di elementi (più sinteticamente particelle) la cui evoluzione può essere descritta con equazioni più semplici da risolvere numericamente (solitamente sistemi di equazioni alle derivate ordinarie, con o senza elementi stocastici) e che, in media, riproducono l’evoluzione descritta dalle equazioni originali. La funzione della m. s., in questo caso, è non solo quella di stabilire rigorosamente se e in quali condizioni il sistema di particelle sia equivalente alle equazioni da risolvere, ma anche di permettere di dare stime dell’errore riguardo alla bontà dell’approssimazione in un senso o nell’altro (dalle particelle ai modelli macroscopici e viceversa), stime che consentano di valutare, per es., quale sia l’ordine di grandezza del numero di particelle da usare in una simulazione per calcolare le quantità cercate entro una data precisione, oppure quanto le quantità associate a un modello macroscopico si discostino dalla loro rappresentazione in termini di particelle.

Mentre per quanto riguarda la m. s. dell’equilibrio, sviluppata per trattare la termodinamica, il formalismo e le tecniche sono ben definite da tempo (teoria degli ensembles statistici d’equilibrio), lo stesso non si può dire per la m. s. che tratta i fenomeni non all’equilibrio, quali i flussi di quantità varie (calore, carica, ma anche densità di popolazione ecc.), le reazioni chimiche, i fenomeni irreversibili e in generale i sistemi in evoluzione. In assenza di una teoria unificata per trattare questo tipo di fenomeni, uno dei problemi fondamentali in questo campo è divenuto la validazione di equazioni macroscopiche locali che costituiscono modelli dei sistemi che si vuole studiare, cioè la dimostrazione che esse possono essere derivate da un sistema di particelle dotato di un’opportuna dinamica microscopica.

Mentre prima dell’avvento dell’uso diffuso degli elaboratori in campo applicativo la validazione di equazioni macroscopiche era effettuata quasi esclusivamente come derivazione da sistemi di particelle con dinamica deterministica (in cui cioè le equazioni del moto non contengono termini stocastici), perché legata alle verifiche di coerenza delle teorie fisiche, successivamente è divenuta rilevante anche la validazione da sistemi di particelle con dinamica stocastica, per la sua importanza nelle applicazioni.

Descriveremo il problema generale e alcuni casi particolari, tra i più semplici da illustrare ma rilevanti dal punto di vista concettuale e applicativo, in cui si sono avuti progressi nell’ultimo decennio, limitando la discussione ai sistemi classici.

Validazione di equazioni macroscopiche. – Tra i modelli matematici che descrivono il mondo reale, quelli che fanno uso di equazioni differenziali alle derivate parziali, che definiscono, per es., l’evoluzione di densità di particelle o di velocità di fluidi in un dato punto dello spazio, sono tra i più comuni. Le soluzioni di queste equazioni descrivono quantità macroscopiche, nel senso che ognuna di esse fornisce, in ogni punto dello spazio, il comportamento medio di un enorme numero di elementi del sistema in una regione estremamente piccola intorno a tale punto. Validare un’equazione (o un sistema di equazioni) di questo tipo consiste nell’interpretare tali funzioni come opportune medie rispetto a distribuzioni di probabilità e nel collegarle alla distribuzione di probabilità e alle corrispondenti medie di un sistema con un alto numero di particelle, dimostrando poi che nei limiti in cui il numero delle particelle cresce, divenendo enorme, le funzioni del sistema di particelle corrispondenti alle soluzioni risolvono le equazioni macroscopiche di partenza.

Quello che si deve dimostrare dunque è che, assegnato un insieme di particelle costituenti il sistema da analizzare (un fluido, una popolazione di individui, un flusso di corrente o di dati) ed equazioni del moto che ne descrivono le traiettorie e le interazioni elementari, e assegnata una distribuzione di probabilità per i dati iniziali di tali equazioni, è possibile effettuare un limite per i valori dei parametri presenti nelle equazioni del moto delle particelle nel quale la densità di probabilità relativa a una particella componente il sistema (detta densità marginale a una particella) o suoi opportuni momenti (per es., la media della velocità del le particelle) soddisfano equazioni macroscopiche assegnate, che sono appunto quelle cercate. Uno dei parametri considerati, per definizione del problema di validazione, è il numero N delle particelle del sistema (talvolta sostituito con la densità del numero di particelle μ), che deve crescere verso l’infinito; gli altri possono essere, per es., la dimensione tipica delle particelle in gioco R o parametri propri del problema in esame. A seconda del comportamento relativo dei diversi parametri, si ottengono diversi comportamenti asintotici per i sistemi considerati, che in genere corrispondono a scale diverse di osservazione del sistema macroscopico: per es., il comportamento asintotico in cui il cammino libero medio, cioè lo spazio che una particella percorre in media tra due urti consecutivi con altre particelle, è finito e non nullo è detto limite cinetico e corrisponde al limite in cui può valere l’equazione di Boltzmann (equazione valida a scala mesoscopica, perché la funzione incognita dipende, oltre che dal tempo e dalla posizione, anche dalla velocità delle particelle che rappresenta), mentre quello in cui il cammino libero medio è nullo è detto limite idrodinamico ed è il limite in cui può valere l’equazione di Navier-Stokes (equazione valida a scala propriamente macroscopica, perché le incognite sono funzioni solo del tempo e della posizione).

L’equivalenza asintotica del sistema di particelle con le equazioni macroscopiche che si vuole validare è ottenuta grazie al fatto che, quando il numero di particelle diventa elevato, una parte delle traiettorie del sistema microscopico diventa statisticamente irrilevante e le equazioni che descrivono l’evoluzione delle predette medie, calcolate per il sistema microscopico, si semplificano, originando quelle macroscopiche cercate.

La procedura di validazione è di solito molto complicata, dato che richiede uno studio delle traiettorie delle particelle e del loro peso statistico molto dettagliato, e i problemi risolti completamente sono molto pochi. In generale, questi si possono dividere, a seconda delle proprietà delle equazioni limite e delle interazioni tra particelle, in lineari e non lineari: i primi, nettamente più facili da trattare dei secondi, presentano comunque un alto grado di difficoltà, ma possono dare informazioni sui meccanismi che possono poi riprodursi nei più complessi casi non lineari.

Problemi lineari: gas di Lorentz. – Nella classe dei problemi lineari, il sistema che più facilmente permette di illustrare le difficoltà e le problematiche del processo di validazione è il cosiddetto gas di Lorentz, legato al modello macroscopico, introdotto nel 1902 da Hendrik Antoon Lorentz per descrivere la conduzione elettrica e successivamente applicato in molti altri contesti, anche con numerose varianti. Nel modello di gas di Lorentz si considera una particella leggera (rappresentante di un insieme di particelle non interagenti), di massa e dimensioni trascurabili, in moto libero tra ostacoli sferici fissi: quando la particella leggera, di velocità v, incontra la superficie di un ostacolo, collide seguendo le leggi degli urti elastici, e la velocità v′ dopo l’urto è data da v′=v−2v·nn (n è la direzione del vettore che congiunge il centro dell’ostacolo e il punto di collisione). I parametri del sistema di particelle, costituito da due specie (particelle leggere e ostacoli), sono il raggio degli ostacoli, R, e la loro densità media, μ, che è il parametro che cresce indefinitamente nel limite da effettuare. A seconda del tipo di applicazione, i centri degli ostacoli si possono trovare su un reticolo periodico (per es., nel caso dei modelli di conduzione nei metalli) oppure possono seguire distribuzioni aleatorie più generali (come nella descrizione dei plasmi debolmente ionizzati). Al crescere di μ, si richiede che il raggio R degli ostacoli diminuisca (R→0). Supponendo di trovarsi in dimensione d, a seconda del comportamento asintotico del prodotto μRd−1, che è proporzionale all’inverso del cammino libero medio, le equazioni limite che vengono associate al sistema di particelle possono essere differenti. Il comportamento del gas di Lorentz è particolarmente istruttivo, ai fini della comprensione dei problemi di validazione, nel caso in cui si ha μ→∞, R→0 in modo tale che μRd−1=M, dove M è costante e non nullo (relazione di scala di Boltzmann-Grad), che corrisponde al limite in cui il cammino libero medio della particella leggera resta sempre finito e diverso da 0. In tale limite, infatti, l’equazione macroscopica che viene associata euristicamente al gas di Lorentz, e che descrive l’evoluzione della densità di probabilità di trovare una particella leggera nel punto x con velocità v al tempo t, è l’equazione di Boltzmann lineare:

corredata di una condizione iniziale opportuna. Tuttavia, non tutte le distribuzioni di ostacoli consentono l’associazione indicata.

Si noti che, mentre la soluzione dell’equazione [1], benché di forma matematica relativamente semplice, non può in generale essere espressa esplicitamente, le equazioni del moto del sistema di particelle sono facilmente risolvibili al calcolatore: le particelle pesanti sono fisse, mentre la particella leggera si muove di moto uniforme tra due collisioni – dunque, se x(t) è la sua posizione al tempo t, la sua equazione del moto tra due collisioni è x″(t)=0 –, e a ogni collisione la direzione della velocità della particella leggera subisce una riflessione alla superficie dell’ostacolo incontrato.

Per quanto riguarda lo studio del collegamento tra il sistema microscopico ‘gas di Lorentz’ e l’equazione macroscopica (Gallavotti 1972; Spohn 1978), è noto da tempo che tale equazione può essere derivata da un gas di Lorentz in cui i centri degli ostacoli sono distribuiti secondo la distribuzione di Poisson (o distribuzioni simili a questa). Invece, solo tra il 1999 e il 2008 è stato dimostrato che ciò non accade nel caso in cui gli ostacoli si trovino su un reticolo (Bourgain, Golse, Wennberg 1998; Golse, Wennberg 2000; Golse 2008). Per ottenere l’equazione [1] è necessario che la distribuzione dei tempi di collisione della particella leggera (o, equivalentemente, degli spazi percorsi tra un urto e l’altro con gli ostacoli) siano distribuiti esponenzialmente; scelta la relazione di scala di Boltzmann-Grad per il gas di Lorentz periodico, però, il reticolo che ne risulta (un cosiddetto biliardo a orizzonte infinito, in cui cioè alcune traiettorie non collidono mai con gli ostacoli) ha dei corridoi tra gli ostacoli molto ampi, e un numero statisticamente rilevante di traiettorie possibili della particella leggera collide solo dopo tempi molto lunghi, portando a una distribuzione per i tempi di collisione che non è esponenziale, ma segue piuttosto un andamento a potenza. Nel limite macroscopico, quindi, il sistema finale mantiene la memoria dell’esistenza del reticolo. L’equazione limite associata al gas di Lorentz periodico, proposta nel 2006 sulla base del ricorso a uno spazio delle fasi esteso (Golse 2006) e successivamente validata (Marklof 2011), presenta una variabile dinamica supplementare ed è dunque nettamente diversa da [1]; in tutti i passi relativi alla soluzione di questo problema, è stato necessario l’impiego di tecniche e stime matematiche molto raffinate.

Per comprendere meglio la difficoltà del problema, si noti che se si considera il gas di Lorentz con la stessa distribuzione aleatoria di ostacoli per cui è possibile derivare la [1], ma in presenza di forze esterne – cioè l’equazione del moto della particella leggera tra due collisioni diventa x″(t)=F(t, x(t)) –, in generale non è più possibile validare la corrispondente equazione di Boltzmann lineare, anche per forze esterne di uso comune. Considerando il caso semplice in cui la particella viene assorbita dagli ostacoli al primo urto e F è sufficientemente regolare, si ha infatti che, invece di ottenere l’equazione limite (corrispondente euristicamente al caso in questione)

in ogni punto dello spazio, per ogni velocità e per ogni tempo, si ottiene l’equazione

dove x(t; x, v) è la soluzione dell’equazione differenziale ordinaria x″(t)=F(t, x(t)) con condizioni iniziali x(0)=x, x′(0)=v e I_A(t, x, v) indica la funzione che vale 1 se (t, x, v)∈A e 0 altrimenti. I membri di destra di [2] e [3] sono uguali solo se le traiettorie spaziali x(t; x, v) non si intersecano mai. Per es., essi sono differenti (in modo statisticamente rilevante) già nel semplice caso dell’oscillatore armonico, ossia F(t, x)=−x, per il quale tutte le traiettorie, dopo un tempo finito, tornano in posizioni precedentemente occupate nello spazio; nell’equazione [3] la storia passata delle particelle è rilevante anche a livello macroscopico (se una particella è già passata in un punto, conosce già la configurazione degli ostacoli in quel punto), cosa che non è vera per la [3] e si ha un fenomeno analogo a quello dei corridoi nel gas di Lorentz periodico. In questo caso, il fenomeno viene rimosso se si aggiunge una componente stocastica allo stato di moto degli ostacoli. Si noti che anche nel gas di Lorentz periodico l’aggiunta di un’opportuna componente stocastica nella posizione degli ostacoli permette di ottenere nuovamente la [1] (Desvillettes, Ricci 2004; Ricci, Wennberg 2004).

Le equazioni macroscopiche che costituiscono i modelli dei sistemi reali sono basate spesso su forti ipotesi di indipendenza statistica dei costituenti elementari dei sistemi considerati (è questo il caso dell’equazione di Boltzmann e di quelle della meccanica dei fluidi): le difficoltà incontratenella validazione per sistemi lineari, quali quelli descritti, corrispondenti tutte a correlazioni statistiche rilevanti, sono rappresentative di difficoltà analoghe che si presentano nei sistemi più complessi.

Problemi non lineari: equazioni di Boltzmann e Navier-Stokes. – La validazione delle equazioni che descrivono il comportamento dei fluidi è il tema fondamentale della ricerca in m. s. del non equilibrio. In particolare, le equazioni di rilievo da validare sono l’equazione di Boltzmann, che descrive l’evoluzione di un gas rarefatto, e le equazioni di Navier-Stokes, che descrivono la dinamica dei fluidi viscosi (e le loro forme limite, quali, per es., le equazioni di Eulero). Tutte queste equazioni sono utilizzate normalmente nei codici di simulazione numerica in vari contesti industriali; oltre a ciò, la validazione ha un interesse puramente teorico nell’ambito della assiomatizzazione della fisica, ovvero, per usare una delle più note classificazioni introdotte dei grandi problemi della matematica, nella risoluzione del 6° problema di Hilbert. Per quanto riguarda l’equazione di Boltzmann, una soluzione parziale del problema è stata data nel 1975 (Lanford 1975), e dettagliata e generalizzata nel 2013 (Gallagher 2013): l’equazione di Boltzmann è validata a partire da un sistema di N particelle sferiche di raggio R, con NR^d−1=1, che interagiscono tramite urti elastici (e per sistemi di poco più generali). La parzialità della soluzione del problema sta nel fatto che la dimostrazione di equivalenza è valida solo per un tempo pari a una piccola frazione del tempo medio di prima collisione: questo non è soddisfacente dal punto di vista delle applicazioni, perché sono appunto gli urti tra le particelle che ne correlano l’evoluzione, introducendo dipendenza statistica, e che dunque potrebbero creare ostacoli all’equivalenza tra il sistema di particelle e l’equazione di Boltzmann; lo è invece (parzialmente) dal punto di vista della verifica di coerenza del modello, e più specificatamente per mostrare come comportamenti irreversibili, quali quelli associati all’equazione di Boltzmann (in particolare, quello descritto dal teorema H), possano discendere da comportamenti microscopici reversibili. Il risultato è quindi di notevole importanza.

Per quanto riguarda invece le equazioni di Navier-Stokes, la validazione diretta da sistemi di particelle che hanno una dinamica deterministica non è stata ancora ottenuta, mentre esistono derivazioni delle equazioni di Navier-Stokes (Quastel 1998) e delle equazioni di Eulero (Olla, Varadhan, Yau 1993) da sistemi di particelle con dinamica stocastica (gas reticolari nel primo caso ed equazioni hamiltoniane con perturbazione stocastica nel secondo). Tra il 2004 e il 2008 è stato dimostrato che è possibile derivare l’equazione di Navier-Stokes dall’equazione di Boltzmann per tutti i valori del tempo (cioè globalmente; Golse, Saint-Raymond 2004, 2009): quindi si può pensare di ottenere una derivazione in due passi (dal sistema di particelle all’equazione di Boltzmann e, successivamente, dall’equazione di Boltzmann all’equazione di Navier-Stokes), anche se per tale tipo di derivazione è comunque prima necessario estendere la validazione dell’equazione di Boltzmann a tempi di ordini di grandezza superiori a quelli attualmente raggiungibili.

La ricerca di una derivazione diretta delle equazioni di Navier-Stokes da un sistema di particelle a dinamica deterministica mantiene comunque la sua importanza, sotto ogni punto di vista.

Bibliografia: G. Gallavotti, Nota interna nr. 358, Università di Roma, Istituto di fisica, 1972; O.E. Lanford, Time evolution of large classical systems, in Lecture notes in physics, 38, ed. J. Moser, pp. 1-111, Heidelberg 1975; H. Spohn, The Lorentz process converges to a random flight process, «Communications in mathematical physics», 1978, 60, pp. 277-90; S. Olla, S.R.S. Varadhan, H.-T. Yau, Hydrodynamical limit for a Hamiltonian system with weak noise, «Communications in mathematical phys ics», 1993, 155, pp. 523-60; J. Bourgain, F. Golse, B. Wennberg, On the distribution of free path lengths for the periodic Lorentz gas, «Communications in mathematical physics», 1998, 190, pp.491-508; J. Quastel, H.-T. Yau, Lattice gases, large deviations,and the incompressible Navier-Stokes equations, «Annals of math ematics», 1998, 148, pp. 51-108; F. Golse, B. Wennberg, On the distribution of free path lengths for the periodic Lorentz gas II, «Mathematical modelling and numerical analysis», 2000, 34, pp.1151-63; L. Desvillettes, V. Ricci, Non-markovianity of the Boltzmann-Grad limit of a system of random obstacles in a givenforce field, «Bulletin of mathematical sciences», 2004, 128, 1, pp.39-46; F. Golse, L. Saint-Raymond, The Navier-Stokes limit of the Boltzmann equation for bounded collision kernels, «Inventiones mathematicae», 2004, 155, 1, pp. 81-161; V. Ricci, B. Wennberg, On the derivation of a linear Boltzmann equation from a periodic lattice gas, «Stochastic processes and their applications», 2004, 111,pp. 281-315; F. Golse, Oberwolfach report 54/2006, «Europeanmathematical society», 2006, 3° vol., nr. 4, p. 3214; F. Golse, The periodic Lorentz gas in the Boltzmann-Grad limit, 2006, http://www.math.polytechnique.fr/~golse/Exposes/icmtalk2.pdf; F. Golse, On the periodic Lorentz gas in the Boltzmann-Grad scaling, «Annales de la faculté des sciences de Toulouse», 2008, 17, pp.735-49; F. Golse, L. Saint-Raymond, The Navier-Stokes limit of the Boltzmann equation for hard potentials, «Journal des mathématiques pures et appliquées», 2009, 91, 5, pp. 508-52; J. Marklof, A. Strömbergsson, The Boltzmann-Grad limit of the periodic Lorentz gas, «Annals of mathematics», 2011, 2, 174, pp.225-98; I. Gallagher, L. Saint-Raymond, B. Texier, From Newton to Boltzmann: hard spheres and short-range potentials, 2013, http://arxiv.org/pdf/1208.5753v2.pdf.