metateoria

metateoria

metateoria teoria che ha come oggetto di studio un’altra teoria, che ne costituisce la sua teoria oggetto, di cui indaga caratteristiche, formalizzazioni, sintassi e semantica. I risultati dimostrati nella metateoria e che riguardano la teoria oggetto sono detti metateoremi. Affinché una teoria possa realmente sostenere una rigorosa indagine razionale su di sé, è necessario che essa sia sufficientemente precisata. In generale questo tipo di precisazione è identificato nella formalizzazione, ovvero nella sostituzione alla teoria data di corrispondenti sistemi formali. La metateoria di una data teoria oggetto può, in quanto teoria, essere a sua volta oggetto d’indagine razionale di un’altra teoria che ne costituisce a sua volta la metateoria; si ha così una meta-metateoria la quale, a sua volta, può essere oggetto d’indagine ecc. La gerarchia delle possibili metateorie è dunque infinita. Per esempio, il sistema di assiomi di Peano, che formula le proprietà e i teoremi dell’aritmetica in un linguaggio logico predicativo (linguaggio dei predicati), costituisce la metateoria dell’aritmetica che ne è la teoria oggetto. Il sistema di assiomi di Peano a sua volta è oggetto della teoria dei sistemi formali, metateoria che definisce le caratteristiche di sistemi assiomatici deduttivi formalizzati indipendentemente dall’oggetto che essi rappresentano. La ricerca sui fondamenti della matematica nei primi decenni del xx secolo, soprattutto nella concezione di D. Hilbert, si rivolse alla costruzione di una metateoria con cui indagare in maniera rigorosa gli strumenti e i metodi della matematica stessa: Hilbert parlò di una → metamatematica che affiancasse la matematica vera e propria assicurandone la coerenza per mezzo di dimostrazioni matematiche. Questa idea, che va sotto il nome di programma hilbertiano, si rivelò però impossibile da realizzare nel momento in cui K. Gödel dimostrò il teorema di incompletezza (→ Gödel, teorema di). La distinzione netta fra teoria oggetto e metateoria, oltre che alle problematiche metamatematiche hilbertiane, è legata alle ricerche semantiche di A. → Tarski, secondo le quali una adeguata nozione di verità delle proposizioni di una teoria non può essere trattata entro la teoria stessa ma solo in una specifica metateoria semantica.