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metodo ai volumi finiti

di Alfio Quarteroni - Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2008)
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metodo ai volumi finiti

Alfio Quarteroni

Metodo numerico per l’approssimazione della soluzione di un’equazione (o di un sistema di equazioni) alle derivate parziali. Sia Ω un sottoinsieme limitato di ℝδ, con d=2,3, e su tale dominio consideriamo, per es., il problema matematico: trovare una funzione u (scalare per semplicità) dipendente dal tempo e dallo spazio, tale che per ogni x=(x1,…,xδ)∈Ω e t>0 valga (u/t)+divf(u)=0 (dove f(u) è una funzione vettoriale detta flusso) con u=u0 assegnata al tempo iniziale t=0 e una opportuna condizione al bordo su tutto Ω oppure su una sua parte a seconda dell’espressione che assume f(u). Osserviamo che ∂/∂t indica la derivata parziale rispetto al tempo mentre

formula

Sia {T} una partizione di Ω in elementi poligonali non sovrapponentisi, ovvero tali che due elementi distinti di {T} possono avere in comune solo lati, vertici e facce e la loro unione ricopre interamente Ω. Integrando la precedente equazione differenziale (che è scritta sotto forma di legge di conservazione) su ogni elemento Tι di {T} e applicando il teorema della divergenza di Gauss a ogni Tι, si ottiene la soluzione u del metodo dei volumi finiti come soluzione del sistema di equazioni

formula

dove uι=u∣Τι e uξ=u∣Τξ (generalmente si suppone uι costante su ogni Tι), Γιξ=∂Tι∩∂Tξ, la somma è estesa a tutti gli indici j per i quali l’elemento Tξ è adiacente a Tι, fαπ(uι,uξ) è una conveniente approssimazione del flusso normale f(u)∙n su Γιξ e n denota la normale a Γιξ con verso uscente da Tι. In genere un metodo ai volumi finiti si caratterizza per la forma geometrica degli elementi della partizione, detti volumi di controllo e per come si rappresenta la soluzione u all’interno di ogni volume di controllo. Il metodo ai volumi finiti ha trovato ampia applicazione nella discretizzazione di problemi differenziali in forma conservativa, in particolare quelli che modellano la dinamica dei fluidi.

→ Computazionali, metodi

Vedi anche
fluidodinàmica Parte della meccanica relativa alla dinamica dei liquidi e dei gas, in genere assimilati a sistemi continui, a seconda dei casi, compressibili o incompressibili, viscosi o non viscosi. L'incompressibilità esclude che vi possano essere in un fluido, sottoposto a pressione, variazioni di densità. L'assenza ... codominio In matematica, l’insieme descritto dal valore di una funzione f(P), quando P varia nel dominio di definizione della funzione f(P). approssimazione In matematica, si chiamano metodi, o procedimenti di a. o, semplicemente, a., procedure alle quali si ricorre per rappresentare enti matematici (numeri, misure, funzioni ecc.) in modo non esatto, ma sufficientemente accurato per gli scopi perseguiti, in genere mediante enti più semplici. Così, per es., ... vertice In geometria, il punto d’incontro dei lati di un poligono o il punto in cui concorrono spigoli e facce di un poliedro, o di un angoloide. In una conica, si chiama v. ognuno dei punti d’incontro della conica stessa con un suo asse. In geometria differenziale, v. di una linea, ogni punto di essa nel quale ...
Categorie
  • ANALISI MATEMATICA in Matematica
Tag
  • EQUAZIONE ALLE DERIVATE PARZIALI
  • TEOREMA DELLA DIVERGENZA
  • EQUAZIONE DIFFERENZIALE
  • CONDIZIONE AL BORDO
  • DINAMICA DEI FLUIDI
Vocabolario
mètodo
metodo mètodo s. m. [dal lat. methŏdus f., gr. μέϑοδος f., «ricerca, indagine, investigazione», e anche «il modo della ricerca», comp. di μετα- che include qui l’idea del perseguire, del tener dietro, e ὁδός «via», quindi, letteralmente...
metodista
metodista s. m. e f. e agg. [der. di metodo; nel sign. 1, dall’ingl. methodist, der. di method «metodo»] (pl. m. -i). – 1. Nome dato, dapprima dai loro avversarî, a coloro che, nel primo Settecento, aderirono al movimento religioso propagato...
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