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metodo dei trapezi

di Alfio Quarteroni - Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2008)
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metodo dei trapezi

Alfio Quarteroni

Metodo numerico per l’approssimazione della soluzione y(x) del problema di Cauchy del primo ordine y′(x)=f(x,y(x)), con x∈(x0,b) e condizione iniziale y(x0)=y0, essendo (x0,b)⊂ℝ e f:(x0,b)×ℝ→ℝ una funzione continua sul dominio e uniformemente lipschitziana rispetto alla seconda variabile. Riscriviamo il problema di Cauchy nell’equivalente formulazione integrale

formula
.

.

Il metodo dei trapezi (detto anche di Crank-Nicholson) costruisce la soluzione numerica approssimante y(x) utilizzando la formula di quadratura dei trapezi (ovvero la formula di Newton-Cotes chiusa su due punti). Più precisamente, assegnato un parametro reale h>0, si definisce un insieme di nodi equispaziati e ordinati x=x0+j∙h ∈ [x0,b), per j=0,...,n e con n=[(b−x0)/h], si riscrive l’equazione integrale sull’intervallino [xξ,xξ+1] e si approssima

formula

con h/2[f (xξ, y(xξ))+ f (xξ +1, y(xξ +1))]. La soluzione numerica ottenuta nei nodi è quindi vξ +1=vξ+h/2[f (xξ ,vξ)+ f (xξ +1,vξ +1)], per j=0,...,n−1. Questo metodo è stabile per ogni valore positivo di h ed è convergente quadraticamente rispetto ad h, ossia esiste una costante C > 0 indipendente da h tale che

formula

→ Computazionali, metodi

Vedi anche
approssimazione In matematica, si chiamano metodi, o procedimenti di a. o, semplicemente, a., procedure alle quali si ricorre per rappresentare enti matematici (numeri, misure, funzioni ecc.) in modo non esatto, ma sufficientemente accurato per gli scopi perseguiti, in genere mediante enti più semplici. Così, per es., ... numero reale Ogni numero relativo razionale o irrazionale. I numeri r. sono dati, perciò, da tutti i possibili sviluppi decimali sia limitati sia illimitati, e questi ultimi sia periodici sia sprovvisti di periodo. Due differenti ordini di problemi suggerirono ai matematici l’opportunità di introdurre i numeri reali. ...
Categorie
  • ANALISI MATEMATICA in Matematica
Tag
  • EQUAZIONE INTEGRALE
  • PROBLEMA DI CAUCHY
  • FUNZIONE CONTINUA
  • ALFIO QUARTERONI
  • LIPSCHITZIANA
Vocabolario
trapèzio
trapezio trapèzio s. m. [dal lat. tardo trapezium, gr. τραπέζιον (propr. dim. di τράπεζα «tavolo»)]. – 1. Quadrilatero con due lati paralleli (basi) e gli altri due non paralleli (lati obliqui), che possono essere uguali tra loro (t. isoscele),...
mètodo
metodo mètodo s. m. [dal lat. methŏdus f., gr. μέϑοδος f., «ricerca, indagine, investigazione», e anche «il modo della ricerca», comp. di μετα- che include qui l’idea del perseguire, del tener dietro, e ὁδός «via», quindi, letteralmente...
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