secanti, metodo delle

Enciclopedia della Matematica (2013)

secanti, metodo delle (per la risoluzione di una equazione) metodo numerico per la ricerca degli → zeri di una funzione; è anche detto metodo delle corde. Si riferisce al problema di determinare uno zero reale di una funzione y = ƒ(x), continua in un intervallo chiuso [a, b], che assume valori di segno opposto agli estremi dell’intervallo e derivabile almeno due volte in (a, b): si vuole cioè trovare il valore x₀ per cui ƒ(x₀) = 0. Il problema può essere risolto usando opportuni metodi iterativi che approssimano lo zero. A ogni iterazione successiva si ottiene un’approssimazione sempre più precisa del risultato cercato. Il metodo delle secanti consiste appunto nel costruire una successione di approssimazioni dello zero reale di y = ƒ(x), sostituendo inizialmente al grafico della funzione la retta r passante per gli estremi della funzione stessa nell’intervallo [a, b], cioè per i punti A(a, ƒ(a)) e B(b, ƒ(b)). Si supponga per semplicità che la funzione abbia nell’intervallo considerato derivata seconda ƒ″ > 0 e che sia ƒ(a) < 0 e ƒ(b) > 0; la curva volge quindi la concavità verso le ordinate positive e giace al di sotto di r. In questa prima iterazione la retta r ha equazione

formula

e interseca l’asse delle ascisse nel punto di ascissa

formula

Questo valore, che si indica con x₁, è assunto come prima approssimazione dello zero di ƒ(x); si effettua quindi una seconda iterazione del procedimento utilizzando come estremi della nuova corda il punto C(x₁, ƒ(x₁)) e il punto B; infatti poiché la curva volge la concavità verso l’alto e giace sotto la retta, lo zero cercato cade certamente nell’intervallo [x₁, b]. La retta passante per C e B ha equazione

Si ottiene così l’intersezione di tale retta con l’asse delle ascisse:

formula

La procedura può essere ripetuta con una nuova iterazione, considerando il punto D(x₂, ƒ(x₂)) e l’intervallo [x₂, b]. Si costruisce via via una successione di soluzioni approssimate, il cui termine generico è

In tutti gli altri casi possibili, quando la curva ha una diversa concavità, occorrerà variare opportunamente l’intervallo su cui iterare l’algoritmo, scegliendo l’estremo a oppure b. Si può dimostrare che lo zero cade nell’intervallo [x_i, b] se il segno della derivata seconda ƒ ″è concorde con quello di ƒ(b), mentre cade nell’intervallo [a, x_i] se il segno di ƒ ″ è concorde con quello di ƒ(a).

L’errore che si commette con questo metodo dipende dalle condizioni di arresto della procedura; questa può essere arrestata:

a) quando il valore assoluto della differenza tra due approssimazioni successive è minore di una quantità (piccola) ε prefissata, ossia |x_i+1 − x_i| < ε;

b) quando il valore assoluto della funzione nel punto x_i è sufficientemente vicino allo zero, ossia |ƒ(x_i)| < ε.

Si osservi che quando non sono soddisfatte in [a, b] le condizioni sulle derivate, il metodo delle secanti può non convergere, anche se la funzione ha un solo zero nell’intervallo. In questo caso occorre controllare che, nei due estremi per cui passa la secante, y = ƒ(x) assuma valori di segno opposto ed eventualmente modificare tali estremi. Questa variante è anche conosciuta come metodo di → falsa posizione.

METODO DELLE SECANTI