metodo di Euler

metodo di Euler

Metodo numerico per l’approssimazione della soluzione y(x) del problema di Cauchy del primo ordine y′(x)=f(x,y(x)), con x∈(x₀,b) e condizione iniziale y(x₀)=y₀, essendo x₀,b∈ℝ e f:(x₀,b)×ℝ→ℝ una funzione continua sul dominio e uniformemente lipschitziana rispetto alla seconda variabile. Assegnato un parametro reale positivo h, il metodo di Euler calcola una soluzione numerica del problema di Cauchy in un insieme di punti distinti e ordinati x_ξ=x₀+j∙h ∈[x₀,b) (per j=0,..., n e con n=[(b−x₀)/h]) approssimando y′(x) mediante il rappor- to incrementale del primo ordine in avan- ti y′(x_ξ)≃(y(x_ξ+1)−y(x_ξ))/h o all’indietro y′(x_ξ)≃(y(x_ξ)−y(x_ξ−1))/h. Qualora si scelga il rapporto incrementale in avanti per approssimare i valori y′(x_ξ), la soluzione numerica che si ottiene nei nodi x_ξ è v_ξ=v_ξ−1+hf (x_ξ−1,v_ξ−1) per j=1,...,n e il metodo viene detto di Euler in avanti (o Euler esplicito). Se invece viene utilizzato il rapporto incrementale all’indietro la soluzione numerica generata nei nodi x_ξ è v_ξ=v_ξ−1+hf (x_ξ,v_ξ) per j=1,...,n e il metodo viene detto di Euler all’indietro (o Euler implicito). Il metodo di Euler in avanti è stabile a condizione che h sia sufficientemente piccolo, ossia si abbia 0〈h≤h₀ dove h₀ dipende da f (più precisamente da f/y). Al contrario, il metodo di Euler all’indietro è stabile per ogni valore positivo di h. La scelta di h determinerà comunque l’accuratezza della soluzione numerica calcolati, più precisamente si può dimostrare che la soluzione numerica ottenuta con entrambi i metodi converge linearmente rispetto a h alla soluzione del modello matematico, ossia esiste una costante C>0 indipendente da h tale che

max_ξ=0,...,ν ∣ y(x_ξ) − v_ξ ∣ ≤ Ch.

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