metodo numerico

metodo numerico

metodo numerico metodo di calcolo che fornisce soluzioni, per lo più approssimate, di problemi di difficile risoluzione analitica e permette la stima dell’errore che può essere contenuto al di sotto di un valore prefissato. Il ricorso a metodi numerici può quindi risultare indispensabile o quando non si dispone di procedimenti analitici per la soluzione del problema (per esempio, se si deve calcolare l’integrale di una funzione della quale non si sa determinare una primitiva) oppure quando le formule risolutive non si prestano alla valutazione pratica; per esempio, le formule di Cramer per la soluzione di sistemi algebrici lineari non sono praticamente applicabili, se non in casi elementari, per l’enorme mole di calcoli che esse richiedono (→ analisi numerica). I metodi numerici utilizzano, a seconda dei problemi posti, diversi algoritmi, principalmente costituiti dalla iterazione controllata di gruppi di istruzioni, che permette di giungere alla precisione richiesta. Per questo la quasi totalità dei metodi numerici sono metodi iterativi. I problemi che tipicamente vengono affrontati con l’ausilio di metodi numerici consistono principalmente nella risoluzione approssimata di: equazioni, sistemi di equazioni lineari, valori di funzioni, equazioni differenziali, integrali definiti. Per la risoluzione di equazioni si utilizzano principalmente il metodo di → bisezione, il metodo delle → secanti, il metodo di → Newton (o delle tangenti), il metodo dell’→ attrattore. Per i sistemi di equazioni lineari, il metodo di → Jacobi o il metodo di → Gauss-Seidel. Per la determinazione del valore di una funzione si impiegano metodi di interpolazione globale che utilizzano opportuni polinomi per approssimare andamenti estesi di una funzione, come per esempio, i polinomi di Newton (→ Newton, interpolazione di) o quelli di Lagrange (→ Lagrange, interpolazione di), e i metodi di approssimazione locale quali la formula di Taylor (→ Taylor, polinomio di). Per le equazioni differenziali, ci si riconduce principalmente al metodo di → Eulero, alla famiglia dei metodi di → Runge-Kutta e a tutte le loro molte varianti. Fanno parte infine dei metodi numerici per il calcolo di un integrale definito il metodo dei → rettangoli, il metodo dei → trapezi e il metodo di → Cavalieri-Simpson. Tutti i metodi numerici sono giustificati da opportuni teoremi di analisi numerica che ne garantiscono sia la convergenza sotto opportune condizioni iniziali, numeriche o geometriche, sia la calcolabilità effettiva e che forniscono inoltre una stima dell’errore in funzione del numero di iterazioni effettuate dal metodo stesso.