minimo comune multiplo

minimo comune multiplo

minimo comune multiplo di due numeri interi a, b è un numero intero positivo m che soddisfa le due seguenti proprietà:

• m è multiplo sia di a sia di b;

• se c è multiplo sia di a sia di b, allora m divide c.

Il minimo comune multiplo tra due interi a e b esiste sempre ed è unico, a meno del segno; convenzionalmente, esso è preso con il segno positivo ed è indicato con il simbolo mcm(a, b), o, secondo la notazione inglese, lcm(a, b) (da least common multiple).

Note le fattorizzazioni in numeri primi di due interi a e b, il loro minimo comune multiplo si calcola effettuando il prodotto di tutti i fattori primi comuni e non comuni ad a e b, elevati al massimo esponente con cui compaiono nelle due fattorizzazioni: per esempio, da 242 = 2 ⋅ 11² e 420 = 2² ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7, si ricava mcm(242, 420) = 2² ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11² = 50820. Tra il minimo comune multiplo m e il → massimo comune divisore M di due numeri interi a e b sussiste la relazione ab = mM.

Una situazione analoga si ha se, invece di numeri interi, si considerano polinomi (a coefficienti in un campo K): anche in questo caso il minimo comune multiplo tra due polinomi p(x) e q(x) (definito dalle stesse proprietà formali enunciate nel caso di due interi) esiste sempre ed è unico, a meno di un fattore invertibile, vale a dire costante; convenzionalmente, si considera un polinomio monico ed è indicato con il simbolo mcm(p, q). Analogamente al caso di due numeri interi, il minimo comune multiplo tra due polinomi p e q può essere calcolato a partire da due fattorizzazioni note in polinomi irriducibili dei polinomi dati, facendo il prodotto dei fattori comuni e non comuni a p e q elevati al massimo esponente con cui compaiono nelle due fattorizzazioni. Più in generale, la nozione di minimo comune multiplo è estendibile a un qualsiasi dominio d’integrità D, ma non sempre esso esiste. Se però D è un dominio a fattorizzazione unica, allora il minimo comune multiplo tra due elementi dell’anello esiste sempre ed è unico (a meno di un fattore invertibile). Come nei casi precedenti, dati due elementi di un dominio a fattorizzazione unica, il loro minimo comune multiplo è sempre calcolabile a partire dalle fattorizzazioni note degli elementi dati.