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Lebesgue, misura di

Enciclopedia della Matematica (2013)
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Lebesgue, misura di


Lebesgue, misura di definizione di misura dovuta a H.-L. Lebesgue. La nozione di misura n-dimensionale (in particolare, per n = 1, 2, 3 rispettivamente, di lunghezza, area e volume) è stata nel tempo precisata ed estesa allo scopo di soddisfare proprietà importanti dal punto di vista non solo teorico, ma anche pratico (per esempio, per lo studio della convergenza delle serie di → Fourier). L’esito più significativo per l’analisi matematica è dovuto appunto a Lebesgue, che attorno al 1900 ne ha dato una definizione tale da soddisfare le necessità della nascente analisi funzionale.

Una definizione costruttiva si può ottenere nel seguente modo. Un plurintervallo n-dimensionale I (nel seguito, brevemente, intervallo) è il prodotto cartesiano di n intervalli chiusi [ai, bi], 1 ≤ i ≤ n. Esso generalizza il concetto di segmento, rettangolo, parallelepipedo (con i lati paralleli agli assi cartesiani).

La misura di I, indicata con m(I), è il prodotto delle lunghezze dei lati. Indicata poi con

formula

l’unione di un numero finito di intervalli Ik, con 1 ≤ k ≤ n, aventi in comune al più punti della frontiera, la misura di T è data da

formula

Se K è un insieme chiuso e limitato, si chiama misura di Lebesgue di K il numero

formula

se A è un aperto limitato, la misura di Lebesgue di A è data da

formula

Pur essendo le famiglie dei chiusi e degli aperti molto importanti, esse non sono chiuse, rispettivamente, per unioni infinite e per intersezioni infinite; non costituiscono, quindi, delle σ-algebre. È dunque necessario procedere con insiemi più generali, che contengano almeno tutti i boreliani (→ Borel insieme di). Sia E un insieme limitato qualsiasi. La sua misura interna è definita da

formula

indicando con K insiemi chiusi; la sua misura esterna è definita da

formula

con A insieme aperto.

Se mi(E) = me(E), tale valore m(E) si chiama misura secondo Lebesgue di E e l’insieme E si dice misurabile (secondo Lebesgue). Se E è non limitato, esso viene detto misurabile se lo è l’intersezione E ∩ Br con ogni sfera con centro nell’origine e raggio r arbitrario; la misura di Lebesgue di E è poi

formula

potendo essere tale valore finito o +∞.

La misura secondo Lebesgue gode delle seguenti proprietà (dove tutti gli insiemi Ek si intendono misurabili):

• l’unione e l’intersezione finite o numerabili di insiemi misurabili è misurabile;

formula
formula

e vale il segno di uguaglianza se ∀i, j risulta

formula

(proprietà di additività numerabile).

Nella teoria della misura di Lebesgue sono importanti gli insiemi di misura nulla. In molte circostanze, infatti, si può dimostrare che una certa proprietà risulta valida in un insieme E eccettuato un insieme di misura nulla: in tal caso si dice che la proprietà vale quasi ovunque (q.o.) in E.

L’insieme costituito da un solo punto ha misura nulla (in ogni dimensione n); perciò anche tutti gli insiemi costituiti da un numero finito o numerabile di punti hanno misura nulla; in particolare, l’insieme dei punti aventi coordinate razionali. Anche per n = 1 esistono però insiemi di misura nulla che hanno la potenza del continuo, come l’insieme ternario di Cantor (→ Cantor, polvere di). Per n = 2 hanno misura (area) nulla tutte le linee regolari, o generalmente regolari, e le linee continue in forma cartesiana; non però le linee continue in forma parametrica. Per esempio, la curva di → Peano riempie un’area positiva. Analogamente ha misura 3-dimensionale (volume) nulla ogni superficie generalmente regolare.

L’intersezione di un insieme misurabile di Rn con un particolare iperpiano di dimensione k < n può non essere misurabile in dimensione k, ma lo è per quasi ogni iperpiano, nel senso della misura (n − k)-dimensionale.

Vedi anche
anàlisi infinitesimale (o càlcolo) Parte della matematica (detta anche semplicemente analisi matematica) i cui metodi e sviluppi sono fondati sull'operazione di passaggio al limite. Suoi iniziatori sono considerati nel 17° sec. I. Newton e G.W. Leibniz, tuttavia ha avuto il suo sviluppo solo in seguito alla definizione rigorosa ... applicazione Matematica Il concetto di a. è una generalizzazione del concetto classico di funzione (➔ corrispondenza). Si parla di a. di un insieme P in un insieme Q, quando tra i due si stabilisce una corrispondenza del tipo seguente: a ogni elemento di P corrisponde un ben determinato elemento di Q, mentre un elemento ... Giuseppe Peano Matematico (Cuneo 1858 - Torino 1932), prof. di calcolo infinitesimale alla univ. (dal 1890) e all'Accademia militare di Torino, socio nazionale dei Lincei (1929); uno dei maggiori matematici italiani moderni. Al nome di P. restano legati soprattutto la costruzione di un utile e rigoroso formalismo logico; ... lògica matemàtica Branca della logica, che utilizza un linguaggio simbolico e adotta un sistema di calcolo di tipo algebrico per esaminare le espressioni di un discorso deduttivo. Queste ultime possono essere considerate formalmente come oggetti grafici combinabili tra loro (sintassi) o in relazione al loro significato ...
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Altri risultati per Lebesgue, misura di
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    Matematico francese (Beauvais, Oise, 1875 - Parigi 1941), prof. all'univ. di Parigi, socio straniero dei Lincei (1925). Uno dei maggiori esponenti dell'indirizzo critico nella teoria delle funzioni di variabile reale, iniziato da K. Weierstrass. Le sue ricerche sulle teorie della misura e dell'integrazione ...
Vocabolario
miṡura
misura miṡura s. f. [lat. mensūra, der. di mensus part. pass. di metiri «misurare»]. – 1. a. Il valore numerico attribuito a una grandezza, ottenuto ed espresso come rapporto tra la grandezza data e un’altra della stessa specie assunta...
Disforia di genere
disforia di genere loc. s.le f. Condizione di intensa e persistente sofferenza causata dal sentire la propria identità di genere diversa dal proprio sesso anatomico. ♦ «Come ha appena detto la compagna transgender...». I delegati di fabbrica...
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