Peano-Jordan, misura di
Peano-Jordan, misura di
Peano-Jordan, misura di per un intervallo [a, b] di numeri reali è il numero b − a (detto anche lunghezza o ampiezza dell’intervallo); per un plurintervallo, unione di un numero finito di intervalli a due a due privi di punti interni in comune, è la somma delle misure dei singoli intervalli. Per un insieme A limitato la misura esterna di Peano-Jordan è l’estremo inferiore dell’insieme numerico costituito dalle misure di tutti i plurintervalli, contenenti A, mentre la sua misura interna è l’estremo superiore dell’insieme costituito dalle misure di tutti i plurintervalli contenuti in A. L’insieme A è detto misurabile secondo Peano-Jordan se la misura esterna è uguale alla misura interna: tale valore comune è la misura di A (→ Peano-Jordan, insieme misurabile secondo). La misura di Peano-Jordan gode della proprietà di additività, cioè se A1, …, An sono insiemi misurabili di numeri reali privi a due a due di elementi comuni, l’unione è misurabile e la misura è uguale alla somma delle misure degli Ai. Non gode, invece, della proprietà di additività in senso esteso (o additività numerabile) la quale, per naturale estensione dell’idea intuitiva di misura, richiede che un insieme A, unione di un’infinità numerabile di insiemi misurabili a due a due disgiunti, sia misurabile e la sua misura sia uguale alla somma della serie delle misure degli stessi. Per esempio, per l’insieme dei numeri razionali dell’intervallo [0, 1], pensato come unione numerabile di intervalli di lunghezza zero (i suoi punti) la misura dovrebbe essere zero, mentre la sua misura esterna è 1. Per il caso bidimensionale e le successive estensioni si vedano → insieme misurabile e → quadrabile.