modello di Ising
modello di Ising
Semplice modello definito su un reticolo per la descrizione delle proprietà magnetiche di un solido. A ogni punto i di un reticolo d-dimensionale è assegnata come grado di libertà locale una variabile sι=±1, spesso chiamata variabile di spin. La funzione energia (hamiltoniana) H è costruita a partire dai contributi dell’interazione tra spin adiacenti 〈i,j> (essa è dunque supposta a corto raggio) e dall’interazione di ogni spin con un campo magnetico esterno h:
H = −ε∑〈ι,ξ>sιsξ + h∑ι sι .
Per ε positivi l’energia risulta minore quando gli spin hanno orientazione parallela (tutti +1 o tutti −1): questo stato è dunque preferito dal sistema. Se invece ε〈0 il sistema descrive un antiferromagnete, nel quale a essere preferita è al contrario un’orientazione anti-parallela. Il modello descrive con grande accuratezza le proprietà fisiche dei ferromagneti e presenta in particolare per h=0 e d>2 una transizione di fase del secondo ordine da una fase disordinata ad alta temperatura a una ordinata (spin paralleli, che producono una magnetizzazione spontanea del materiale) a bassa temperatura. Intuitivamente, l’ordine può stabilirsi solo una volta che il disordine prodotto dall’agitazione termica del materiale divenga trascurabile. Con una reinterpretazione dei gradi di libertà di spin è inoltre possibile applicare il modello di Ising in contesti molto differenti. Per es., se si conviene che s1=1 indica che il nodo i del reticolo è occupato (e sι=0 che è libero) mentre h è interpretato come potenziale chimico, otteniamo una descrizione di un gas perfetto sul reticolo stesso. La fase ordinata corrisponderà allora a una situazione di gas condensato, quella disordinata a un gas vero e proprio. L’esistenza di transizioni di fase fu provata da Rudolph Peierls nel 1936 per reticoli di dimensione maggiore di 2; è al contrario possibile dimostrare che esse non si presentano per d=1, ovvero nel caso di un reticolo lineare. Soluzioni esatte del modello esistono solo per d=1,2 mentre per dimensioni maggiori potenti metodi di approssimazione sono stati sviluppati per il calcolo degli esponenti critici.