Tobit, modello
Tobit, modello
Modello per la media condizionata di una variabile Y dato un vettore di regressori X. Si usa quando la variabile Y è una versione censurata o troncata di una variabile Y* non osservabile direttamente. Per es., Y* potrebbe rappresentare la spesa desiderata per un bene, mentre Y è la spesa effettivamente sostenuta che ovviamente non può essere negativa, per cui la relazione tra Y e Y* è data da Y=max(0,Y*), cioè Y è uguale a zero se Y* è negativa ed è uguale a Y* quando Y*≥0. Il modello fu originariamente proposto da J. Tobin (➔) nel 1958 e venne successivamente denominato ‘modello Tobit’ (da Tobin’s probit; ➔ probit, modello) secondo una terminologia coniata da A.S. Golberger (1964). Esso assume un modello di regressione lineare gaussiano per la variabile latente Y*, ossia Y*=α+βX+U con X e U indipendenti e U con distribuzione gaussiana con media zero e varianza σ2. La media condizionata di Y dato X può quindi scriversi come:
E
(Y|X=x)=E(Y*|X=x,Y*>0)P(Y*>0|X=x)+
E
(Y|X=x,Y=0)P(Y=0|X=x)=[α+βx+E(U|X=
x
,α+βx+U>0)]P(U>−(α+βx)|X=).
Essa pertanto risulta non lineare in X anche quando E(Y*|X=x) è lineare (➔ linearità).
Il modello può essere generalizzato in vari modi: si può avere una censura per valori della variabile latente inferiori a un valore c≠0, cioè Y=c se Y*≤c, oppure una censura per valori della variabile latente Y*≥d, o una doppia censura con Y=Y* se c≤Y*≤d, Y=c se Y*<c, e Y=d se Y*=d.
Il metodo di stima ‘classico’ per i parametri di un modello T. è quello della massima verosimiglianza (➔ verosimiglianza massima, metodo della). Il problema della massimizzazione della funzione di verosimiglianza non ammette una soluzione in forma chiusa ma può essere risolto con l’ausilio di metodi numerici. Uno dei problemi dello stimatore di massima verosimiglianza del modello T. è la sua scarsa robustezza (➔ robustezza statistica) nel caso di errata specificazione della distribuzione degli errori. Per questo motivo, la proposta di metodi di stima alternativi è un argomento di grande attualità nella letteratura econometrica (➔ econometria).