modulo
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Gruppo abeliano (in cui l’operazione di moltiplicazione è commutativa) unito a un anello di operatori. Un modulo è la generalizzazione di uno spazio vettoriale (lineare) su un campo K (per es., i numeri reali o complessi), dove appunto K è sostituito da un anello A. Ricordiamo che un campo è un anello in cui anche la moltiplicazione (come l’addizione) è commutativa e ogni elemento tranne lo zero è invertibile rispetto a essa. Un gruppo abeliano M è detto A-modulo sinistro se esiste un’applicazione (a,m)→am, con a∈A e m∈M, di A×M in M che soddisfa le seguenti proprietà:
(a) a(m1+m2)=am1+am2;
(b) (a1+a2)m=a1m+a2m;
(c) a1(a2m)=(a1a2)m.
Se A ha un’unità 1, si richiede inoltre che 1m=m per ogni m∈M. Un modulo con questa proprietà è detto unitario. Il simbolo ‘+’ indica indistintamente tanto l’operazione (commutativa) di moltiplicazione in M quanto l’addizione in A. Gli A-moduli destri sono definiti nella maniera ovvia; in particolare (c) è sostituito da (ma1)a2=m(a1a2). Se A è commuativo la distinzione scompare: ogni modulo sinistro può essere considerato destro. Ogni gruppo abeliano M (continuiamo a guardare all’operazione di gruppo come a un’addizione) è un modulo sull’anello degli interi relativi ℤ. È sufficiente, infatti, definire am=m+...+m (a volte) per a∈ℤ positivo e m∈M e am=−m−...−m (a volte) per a negativo. Come precedentemente accennato, se A è un campo la nozione di modulo coincide con quella di spazio vettoriale. Anche uno spazio vettoriale V su un campo K (fissata una base) può essere considerato un modulo sull’anello Mν(K) di tutte le matrici n×n con coefficienti in K. Più in generale, con un gruppo abeliano M è sempre definito l’anello End(M) di tutti gli endomorfismi di M con addizione a1+a2 tra elementi a1,a2∈End(M) definita dalla formula (a1+a2)m=a1m+a2m per ogni m∈M. Il gruppo M possiede una struttura naturale di End(M)-modulo. Se esiste una struttura di A-modulo su M per qualche anello A, allora l’applicazione m→am è un endomorfismo di M per ogni a∈A fissato. Associando all’elemento a∈A tale endomorfismo di M, si ottiene un omomorfismo di A in End(M). Viceversa, ogni omomorfismo di A in End(M) definisce una struttura di A-modulo su M. Tale omomorfismo è detto rappresentazione dell’anello A. Analoghe considerazioni valgono anche nel caso dei G-moduli, moduli in cui l’anello A è sostituito da un gruppo G.
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