Mohr Christian Otto

Mohr Christian Otto

Mohr 〈móor〉 Christian Otto [STF] (Wesselburen 1835 - Dresda 1918) Ingegnere, poi prof. di scienza delle costruzioni nel politecnico di Stoccarda (1887). ◆ [MCC] Arbelo di M.: rappresentazione grafica, particolarizzazione del cerchio di M. (v. oltre), delle tensioni (τ) normali all'asse longitudinale (z) di un corpo parallelepipedo in funzione delle sollecitazioni (σ); esse sono rappresentate dai punti dell'arbelo indicato in grigio nella fig., dove i due cerchi interni rappresentano le sezioni contenenti gli assi x (cerchio di diametro AB) e y (cerchio di diametro AC). ◆ [MCC] Cerchio di M.: rappresentazione grafica, introdotta da M. (1882), dello stato di tensione in un punto di un sistema materiale continuo comunque sollecitato. Tale rappresentazione vale nel caso di una distribuzione piana delle tensioni, ma può anche servire, nel più generale caso tridimensionale, per caratterizzare la distribuzione degli sforzi in uno dei piani principali di sollecitazione relativi al punto considerato, in un piano cioè contenente due direzioni principali. Precis., nel caso piano, indicate con σx, σy, τxy, τyx(≡τxy) le componenti di sollecitazione agenti, rispettiv. (fig. 1), σx perpendicolarmente a τxy parallelamente al piano, di traccia y, normale alla fibra media del corpo, σy perpendicolarmente a τyx parallelamente al piano, di traccia x, parallelo allo strato medio, la tensione normale σs e la tensione tangenziale τs, agenti rispettiv. in direzione normale e parallela al piano generico, di traccia s, formante l'angolo α con l'asse y, hanno le espressioni: σs=(σx+σy)/2+[(σx-σy)/2] cos(2α)+τxy sin(2α), τs=[(σx-σy)/2] sin(2α)-τxy cos(2α). Da queste espressioni deriva la rappresentazione grafica della fig. 2: a ogni piano di traccia s si fa corrispondere un punto S sul piano cartesiano σ, τ (origine O) tale che le coordinate di S rappresentino le misure di σs e τs; al variare dell'angolo α il punto S descrive una circonferenza (cerchio di M.) avente il centro C sull'asse delle σ con ascissa σm=(σx+σy)/2 e raggio pari a { [(σx-σy) /2]2+τxy2}1/2; sulla circonferenza esiste un punto K (polo) tale che la congiungente K con S fornisce la traccia s del piano considerato. Note le sollecitazioni σx, σy e τxy è possibile descrivere il cerchio di M. e determinare il polo K nell'intersezione delle parallele agli assi τ e σ per i punti X e Y di coordinate (σx, τxy) e (σy, τyx), rispettivamente. I punti M e N in cui il cerchio incontra l'asse delle σ corrispondono ai piani principali (direzioni m e n) e tensioni principali sono dette le relative σmax e σmin (lungo tali direzioni τ è nulla); i punti R e T indicati nella fig. corrispondono ai piani di massimo scorrimento (direzioni r e t): su essi è massima la τ e la σ equivale a σm. La legge di variazione delle tensioni intorno a un punto è comune alle componenti di qualsiasi tensore simmetrico di secondo ordine; pertanto, la rappresentazione di M. deve ritenersi valida per qualsiasi tensore simmetrico di secondo ordine a due dimensioni ed è anzi valida anche per tensori simmetrici di secondo ordine a più di due dimensioni, purché ci si limiti a richiedere la rappresentazione del tensore in un piano principale, contenente cioè due direzioni principali.