molteplicita

molteplicita

molteplicità termine usato in matematica per denotare la mancanza di unicità di soluzione di un problema.

Molteplicità di una soluzione

Si dice molteplicità di una radice a di un polinomio p(x) il massimo intero positivo m tale che p(x) è divisibile per (x − a)^m. Similmente, si dice molteplicità di una soluzione a di una equazione algebrica della forma p(x) = 0 la sua molteplicità come radice del polinomio p(x). Si dice che due curve hanno molteplicità d’intersezione k + 1 in un punto P a esse comune, se hanno in P un ordine di contatto uguale a k. Anche nell’ambito delle equazioni differenziali non lineari sia ordinarie che alle derivate parziali, si parla di molteplicità di soluzioni.

Molteplicità di un punto

Si dice molteplicità di un punto P di una curva algebrica piana definita dall’equazione ƒ(x, y) = 0 l’ordine di annullamento del polinomio ƒ in P: un punto multiplo della curva è un punto che abbia molteplicità maggiore di 1. Si dice molteplicità di un punto P di una superficie il numero di punti distinti dell’insieme base non appartenenti alla frontiera cui corrisponde P (→ superficie).

Molteplicità di un autovalore

In algebra lineare, se λ è un autovalore di una matrice quadrata A di ordine n, si dice molteplicità algebrica di λ la sua molteplicità come radice del polinomio caratteristico di A. Si dice invece molteplicità geometrica di λ la differenza tra l’ordine di A e il rango della matrice A − λI (dove I è la matrice identità), vale a dire la dimensione del nucleo di A − λI. La molteplicità geometrica di un autovalore coincide dunque con la dimensione dell’autospazio relativo a esso. La molteplicità geometrica di un autovalore è sempre minore della o uguale alla sua molteplicità algebrica; la matrice A è diagonalizzabile se e solo se, per ogni suo autovalore, le rispettive molteplicità algebrica e molteplicità geometrica coincidono (→ diagonalizzazione).