monoide

monoide

monoide in algebra, insieme A dotato di un’operazione associativa ∘ rispetto alla quale esiste un elemento neutro e, ossia un elemento di A tale che a ∘ e = e ∘ a = a per ogni elemento a di A. Formalmente un monoide è quindi una coppia (A, ∘), dove A è un insieme e dove ∘: A × A → A è un’operazione binaria associativa e dotata di elemento neutro. La struttura di monoide è una struttura algebrica intermedia tra quelle di semigruppo e di gruppo: un monoide è un semigruppo dotato di elemento neutro; un gruppo è un monoide in cui ogni elemento è invertibile. Se l’operazione ∘ è commutativa, allora il monoide è detto commutativo o abeliano. Similmente al caso dei gruppi, un monoide si dice moltiplicativo se l’operazione è formalmente trattata come una moltiplicazione (notazione moltiplicativa); solitamente in questo caso l’operazione è indicata con i simboli ⋅ o ∗. Similmente un monoide si dice additivo se l’operazione è formalmente trattata come un’addizione (notazione additiva); in questo caso l’operazione è solitamente indicata con il simbolo +. Ogni gruppo è un monoide; un esempio di monoide che non sia un gruppo è costituito dal monoide additivo (N, +) dei numeri naturali rispetto all’addizione (con elemento neutro lo zero). Un esempio di semigruppo che non sia un monoide è invece (N, ⋅), costituito dai numeri naturali rispetto alla moltiplicazione, in quanto privo di elemento neutro; esso diventa però un monoide a patto di escludere da N l’elemento 0: il monoide così ottenuto è indicato con il simbolo (N₀, ⋅) e ha per elemento neutro l’unità. Due monoidi M e M′ che si suppone siano additivi si dicono isomorfi se fra essi sussiste una corrispondenza biunivoca ƒ: M → M′, tale che da a → a′, b → b′ segue a + b → a′ + b′. Per esempio, sono isomorfi il monoide additivo N dei numeri naturali e il monoide additivo N′ dei numeri pari, incluso lo zero. In questo caso è la funzione ƒ(x) = 2x a dar luogo all’isomorfismo.

☐ In geometria, è detta monoide una superficie algebrica irriducibile di ordine n dotata di un punto di molteplicità n − 1. La sua equazione cartesiana, se il punto di molteplicità n − 1 coincide con l’origine del sistema di riferimento, è: p_n(x, y, z) + p_n−1(x, y, z) = 0, dove p_n e p_n−1 sono polinomi omogenei, rispettivamente di grado n e n − 1. Per esempio una quadrica con un punto P semplice è un monoide.