montante

montante

In matematica finanziaria, la somma M(t) del capitale impiegato C e degli interessi (➔ anche interesse p) maturati dall’epoca dell’impiego, convenzionalmente epoca 0, all’epoca t. Il tempo è misurato normalmente in anni, sicché per es. t=1/2 significa 6 mesi. Il m. varia a seconda delle regole, dette regimi finanziari o di capitalizzazione (➔), applicate per il calcolo degli interessi.

I principali sono l’interesse semplice (capitalizzazione semplice), l’interesse composto (capitalizzazione composta), l’interesse esponenziale (capitalizzazione esponenziale) e un regime misto. Nel caso semplice si ha M(t)=C+Cit=C(1+it). L’interesse è ottenuto moltiplicando il capitale C per il tempo t e per il coefficiente i, detto tasso annuo di interesse. Tale regola è utilizzata per operazioni di impiego di durata inferiore all’anno (t<1). Nel regime dell’interesse composto, si suppone che per ogni t intero, t=1,2,…,n, valga M(t)=C(1+i)^t. Il fattore 1+i è detto fattore di capitalizzazione o anche rendimento lordo. Al termine di ogni anno gli interessi maturati nell’anno diventano capitale e si aggiungono a quello precedentemente accumulato per produrre nuovi interessi; dopo un anno si avrà M(1)=C(1+i), dopo due anni M(2)=M(1)(1+i)=C(1+i)², e così dopo n anni si avrà M(n)=M(n−1)(1+i)=C(1+i)ⁿ⁻¹(1+i)=C(1+i)ⁿ. Per operazioni di durata superiore a un anno, ma con t non intero, si utilizza il regime misto: indicando con n il massimo intero minore di t, si applica la capitalizzazione composta per la durata n e quella semplice per l’ulteriore periodo t−n. In definitiva si ha M(t)=M(n)(1+i(t−n))=C(1+i)ⁿ(1+i(t−n)). In alternativa si può estendere la capitalizzazione composta a ogni t anche non intero maggiore di 1 con M(t)=C(1+i)^t. Ciò significa che gli interessi maturati diventano nuovo capitale produttivo di interessi non solo alla fine di ogni anno, ma continuamente. Tale convenzione si traduce algebricamente nell’equazione differenziale dM=Mrdt. Essa esprime il differenziale, cioè l’interesse localmente generato nel periodo infinitesimo fra l’epoca t e l’epoca t+dt come prodotto del capitale stesso M, del tempo infinitesimo dt e del coefficiente r, detto intensità istantanea (o tasso istantaneo) di interesse: una convenzione che replica localmente la regola del prodotto capitale per tempo per tasso, vigente in grande nel regime dell’interesse semplice. Tenuto conto della condizione iniziale M(0)=C, la soluzione dell’equazione differenziale è M(t)=Cexp(rt), espressione del m. in regime di capitalizzazione esponenziale. Risulta expr=1+i, ovvero r=ln(1+i), che consente di interpretare r come logaritmo naturale del rendimento.

Montante di rendita

È il valore della rendita alla scadenza dell’ultimo periodo, quando questa sia temporanea. Nel caso standard di n rate costanti di importo R, annua, posticipata, cioè con versamenti a periodicità annua, e alla fine di ogni anno, il valore del m. alla scadenza si esprime con la formula compatta S=R((1+i)ⁿ−1)/i. Equazioni simili esistono anche nel caso di rendite annue anticipate, con rate versate all’inizio di ogni anno, sostituendo a denominatore i con iv prodotto del tasso di interesse per il fattore di attualizzazione v=(1+i)⁻¹, o, in caso di n rate di differente periodicità (per es. semestrale), sostituendo il tasso annuo i con il tasso effettivo periodale corrispondente.

Montante pensionistico

È quello accumulato da un soggetto al termine della sua vita lavorativa, mediante rate di importo variabile (e usualmente di periodicità mensile) corrispondenti ai contributi versati a fini pensionistici.