multifrattalita

multifrattalita

multifrattalità [Comp. di multi- e frattalità] [PRB] Misura della variabilità dell'azione di espansione dei segmenti infinitesimi sotto l'azione delle iterate di una trasformazione S, regolare (differenziabile a tratti e localmente invertibile) di Rn in sé, definita nell'intorno di un insieme A chiuso limitato e S-invariante (ossia SA⊂A), quando l'azione di S è osservata su dati iniziali y scelti a caso rispetto a una distribuzione di probabilità invariante μ definita su A e attribuente probabilità nulla agli (eventuali) insiemi di punti in cui S non è differenziabile; dunque la m. è una proprietà del sistema dinamico metrico definito da S, A, μ, ossia della terna (S, A, μ). Se F₁(y) è il massimo coefficiente di espansione, in y, delle lunghezze, rispetto alla trasformazione Sk, iterata k-ma di S, si definisce m. la funzione del parametro reale α: z(α)=limk→∞(1/k)log〈F₁(y)α〉 ove la media è su y ed è eseguita rispetto alla distribuzione di probabilità μ, se il limite esiste. La funzione z(α) è una misura della variabilità dell'espansione massima di S e contiene molta più informazione dell'esponente massimo di Ljapunov, che è dato da z'(0) (se la derivata esiste). Ma questa non è l'unica definizione possibile di misura della m. di (S, A, μ). Per es., se μ è ergodica e m è il numero (indipendente da y) di esponenti di Ljapunov positivi e F+,k(y) è il massimo coefficiente di espansione degli elementi di volume di dimensione m per azione di Sk si pone: ζ(α)=limk→∞(1/k) log〈F+,k(y)α〉 e questa è un'altra misura della m. (ora ζ'(0)=Σλj>0 λj). Il sistema dinamico metrico (S, A, μ) si dice multifrattale se la funzione z(α) non è proporzionale ad α. Per es., se S è la trasformazione di A=[0, l] definita da x→3x mod l e μ(dx)=dx, si trova che (S, A, μ) non è multifrattale e z(α)=α log 3, mentre l'esponente di Ljapunov è λ=log 3.