nabla

nabla

nabla operatore vettoriale differenziale il cui nome deriva da uno strumento a corde della tradizione ebraica europea, detto nabel, a causa della sua forma, simile a quella della lettera ∆ capovolta. Per questo motivo, nei paesi anglosassoni è anche chiamato atled (inversione della parola «delta»). L’operatore nabla ha come componenti le derivate prime ed è definito mediante

dove i, j, k sono i tre versori del riferimento cartesiano; a volte è indicato anche con

come un vettore, per enfatizzarne la natura vettoriale. Mediante l’operatore nabla si esprimono tre fondamentali operatori differenziali del primo ordine. Infatti, se è applicato a un campo scalare ƒ(x, y, z) ne fornisce il gradiente:

Se è applicato mediante un prodotto scalare a un campo vettoriale v(x, y, z) =ν₁i + ν₂j + ν₃k ne dà la divergenza

mentre tramite un prodotto vettoriale si ottiene il rotore:

Applicato due volte a un campo scalare fornisce il laplaciano:

mentre risulta sempre: ∇ × ∇ƒ = rot grad ƒ = 0.

Si suppone sempre che tutte le derivate indicate siano continue, cioè che i campi siano di classe C ¹ o C ² a seconda dei casi. Valgono inoltre le formule:

• ∇ ⋅ (ƒv) = ∇ƒ ⋅ v + ƒ (∇ ⋅ v)

• ∇ ⋅ (v × w) = w ⋅ (∇ × v) − v ⋅ (∇ × w)