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curva, nodo di una

Enciclopedia della Matematica (2013)
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curva, nodo di una


curva, nodo di una in termini generali, punto doppio di una curva piana con due tangenti distinte. Intuitivamente è un punto per il quale la curva “passa due volte”. Nello studio delle relazioni definite da un’equazione del tipo ƒ(x, y) = 0, il teorema di Dini della funzione implicita consente di studiare agevolmente il grafico nel caso in cui almeno una delle due derivate parziali ƒx o ƒy sia diversa da zero. Se tuttavia in un certo punto singolare P0, soluzione dell’equazione, entrambe le derivate si annullano, è ancora possibile adattare le tecniche di calcolo per ottenere informazioni sul grafico della relazione in un intorno di P0. Procedendo (in modo euristico) come nel caso regolare, si supponga che la relazione possa esprimersi localmente mediante una funzione y = φ(x), e si derivi l’identità ƒ(x, φ(x)) ≡ 0. Si ottiene dapprima

formula

che in P0 non dà informazioni in quanto entrambi i coefficienti si annullano. Derivando ulteriormente (nell’ipotesi che tutte le derivate esistano e siano continue) si ha

formula

e dunque, sostituendo le coordinate x0 e y0 = φ(x0) di P0, si ottiene:

formula

Questa è un’equazione di secondo grado nell’incognita φ′(x0) e dunque se il discriminante è positivo si avranno due valori reali distinti, corrispondenti a due diverse funzioni φ1(x) e φ2(x) i cui grafici nel punto x0 si tagliano, avendo la stessa ordinata y0 ma derivate φ′1(x0) ≠ φ′2(x0). Si noti che il discriminante corrisponde all’opposto del determinante hessiano

formula

calcolato in P0; dunque se tale determinante è negativo si presenterà quella conformazione particolare che viene detta nodo.

Se ƒ è dotata anche di derivate di ordine superiore, è possibile procedere con tale argomento valutando la derivata φ″(x0) per ciascuno dei due rami e così per le successive derivate.

In base alle sue proprietà locali, il nodo può essere classificato nei sottotipi che seguono:

• nodo o punto doppio ordinario: le due tangenti principali sono reali e distinte e hanno entrambe contatto d’ordine 2 con la curva;

• tacnodo: le tangenti principali sono reali e coincidenti e hanno un contatto di ordine 3 con la curva. La curva presenta due rami che hanno tra loro un contatto di ordine 1;

• oscnodo: le tangenti principali sono reali e coincidenti e hanno un contatto di ordine 4 con la curva. La curva presenta due rami aventi tra loro un contatto di ordine 2, perché hanno in quel punto la stessa curvatura;

• flecnodo: le tangenti principali sono reali e distinte e una di esse ha un contatto di ordine 2 con un ramo della curva e molteplicità d’intersezione con la curva uguale almeno a 4;

• biflecnodo: le tangenti principali sono reali e distinte e ciascuna di esse ha un contatto di ordine 2 con un ramo della curva e molteplicità di intersezione con la curva uguale almeno a 4;

• punto doppio isolato: le tangenti principali sono immaginarie e coniugate;

• cuspide o punto di regresso: c’è una sola tangente principale (→ cuspide).

NODO DI UNA CURVA

Tag
  • EQUAZIONE DI SECONDO GRADO
  • FUNZIONE IMPLICITA
  • TEOREMA DI DINI
  • CURVA PIANA
  • HESSIANO
Vocabolario
nòdo
nodo nòdo s. m. [dal lat. nōdus]. – 1. a. Intreccio di uno o più tratti di corda (o filo o nastro o altro elemento flessibile e relativamente sottile), consistente in un avvolgimento del tratto su sé stesso o in un suo collegamento con...
curva¹
curva1 curva1 s. f. [femm. sostantivato dell’agg. curvo]. – 1. a. Nel linguaggio com., ogni linea che non sia retta. b. In matematica, sinon. di linea, intendendosi quindi anche la retta come una particolare curva. Molte curve di tipo particolare...
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